O conjunto S=A in M2(R): A^2=0 é subespaço vetorial de M2(R) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
S=Ain M2(R)mid A^2=0
e pergunta se S é subespaço vetorial de M2(R).
Para isso a gente lembra que um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se, e só se,
1. contém o vetor zero;
2. é fechado sob multiplicação por escalar;
3. é fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos as duas primeiras condições:
  • O zero de M2(R), digamos 0, satisfaz 0^2=0, logo 0in S.
  • Se Ain S e lambdainR, então
(lambda A)^2=lambda^2A^2=lambda^2cdot 0=0,
logo lambda Ain S.

Passo 3

Agora a adição. Vamos achar A,Bin S tais que A+Bnotin S. Por exemplo, escolha
A=0 & 1[6pt]0 & 0, B=0 & 0[6pt]1 & 0
Claramente A^2=0 e B^2=0, então A,Bin S. Mas
A+B= 0 & 1[4pt]1 & 0 Longrightarrow (A+B)^2= 0 & 1[4pt]1 & 0^2 = 1 & 0[4pt]0 & 1 =I2neq 0
Logo A+Bnotin S, e portanto S não é fechado sob adição.]

Resposta

S não é subespaço vetorial de M2(R), pois falha em ser fechado sob adição.

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