Seja T: R^3 R^2 transformação linear tal que
T(0,1,0)=(1,-2), T(1,0,1)=(3,1), T(1,1,0)=(0,2)
Determine a transformação linear T.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3 to R^2 com as imagens
(0,1,0)mapsto (1,-2),
(1,0,1)mapsto (3,1) e
(1,1,0)mapsto (0,2).
Como T é linear, existe uma matriz AinR^2times3 tal que T(x,y,z)=A,(x,y,z). Nosso objetivo é achar as entradas de A.

Passo 2

Escrevemos a matriz
A = a & b & c d & e & f
e, assim, para (x,y,z), vale
T(x,y,z) = (a x + b y + c z, d x + e y + f z)
Aplicando em (0,1,0), temos
T(0,1,0) = (b,e) = (1,-2)
Daí b=1 e e=-2.

Passo 3

Para (1,1,0), temos
T(1,1,0) = (a+b, d+e) = (0,2)
Substituindo b=1 e e=-2, segue
a + 1 = 0
e
d - 2 = 2
Logo a=-1 e d=4.

Passo 4

Em (1,0,1), temos
T(1,0,1) = (a+c, d+f) = (3,1)
Substituindo a=-1 e d=4, segue
-1 + c = 3
e
4 + f = 1
Logo c=4 e f=-3.

Passo 5

Substituindo todos os valores em A, obtemos
A = -1 & 1 & 4 4 & -2 & -3
Assim, para (x,y,z),
T(x,y,z) = (-x + y + 4z, 4x - 2y - 3z)
.

Resposta

T(x,y,z) = (-x + y + 4z, 4x - 2y - 3z)

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