O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão dos subespaços , , e em . Vamos usar os conceitos de subespaço definido por equação linear (para ), de subespaço gerado por vetores (para ), e a fórmula de Grassmann
Em cada caso, encontraremos vetores independentes que geram o subespaço.
Passo 2
Para , resolvemos a equação:
Parametrizando por e :
Logo, gera . Esses vetores são independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Assim,
Passo 3
Para [,W_2=\mathrm{span}{(1,1,1),,(1,-1,2),,(0,2,-1)}), verificamos a independência dos três vetores resolvendo
Isso leva ao sistema
Da primeira equação vem e a terceira é redundante. Há um grau de liberdade, logo o posto é . Podemos escolher como base os dois primeiros vetores, que são independentes:
Passo 4
Para achar ,W1cap W2 procuramos vetores de W2 que satisfaçam x-2y+z=0. Escrevendo
Como isso atinge a dimensão 3 de R^3, temos W1+W2=R^3. Basta então escolher três vetores independentes no gerador (2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2). Esses três são independentes, logo
W1: base (2,1,0),,(-1,0,1), dim W1=2.
W2: base (1,1,1),,(1,-1,2), dim W2=2.
W1cap W2: base (1,1,1), dim(W1cap W2)=1.
W1+W2: base (2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2), dim(W1+W2)=3.