Considere os seguintes subespaços de R^3
W1=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 e W2=[(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1)]
Encontre uma base e a dimensão de W1, W2, W1+W2 e W1 cap W2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão dos subespaços ,W1, ,W2, ,W1+W2 e ,W1cap W2 em R^3. Vamos usar os conceitos de subespaço definido por equação linear (para ,W1), de subespaço gerado por vetores (para ,W2), e a fórmula de Grassmann
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)
Em cada caso, encontraremos vetores independentes que geram o subespaço.

Passo 2

Para ,W1=(x,y,z)inR^3: x-2y+z=0, resolvemos a equação:
x = 2y - z
Parametrizando por y e z:
(x,y,z) = (2y - z,,y,,z) = y,(2,1,0) ;+; z,(-1,0,1)
Logo, (2,1,0),,(-1,0,1) gera ,W1. Esses vetores são independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Assim,
base(W1)=(2,1,0),,(-1,0,1), dim W1=2

Passo 3

Para [,W_2=\mathrm{span}{(1,1,1),,(1,-1,2),,(0,2,-1)}), verificamos a independência dos três vetores resolvendo
Isso leva ao sistema
Da primeira equação vem e a terceira é redundante. Há um grau de liberdade, logo o posto é . Podemos escolher como base os dois primeiros vetores, que são independentes:

Passo 4

Para achar ,W1cap W2 procuramos vetores de W2 que satisfaçam x-2y+z=0. Escrevendo
w = alpha,(1,1,1) + beta,(1,-1,2) = (alpha + beta,;alpha - beta,;alpha +2beta)
e impondo
(alpha + beta) - 2(alpha - beta) + (alpha + 2beta)=0 ;Longrightarrow;5beta=0 ;Rightarrow;beta=0
Assim w=alpha,(1,1,1). Logo
base(W1cap W2)=(1,1,1), dim(W1cap W2)=1

Passo 5

Usando a fórmula de Grassmann,
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2) =2+2-1=3
Como isso atinge a dimensão 3 de R^3, temos W1+W2=R^3. Basta então escolher três vetores independentes no gerador
(2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2). Esses três são independentes, logo
base(W1+W2)=(2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2), dim(W1+W2)=3

Resposta

W 1: base (2,1,0),,(-1,0,1), dim W1=2.
W 2: base (1,1,1),,(1,-1,2), dim W2=2.
W 1cap W2: base (1,1,1), dim(W1cap W2)=1.
W 1+W2: base (2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2), dim(W1+W2)=3.

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