Considere alpha=t^3, t^2, t, 1 e beta=t^3, t^2-t, t+1,2 t bases do espaço vetorial P3(R).
Determine a matriz de mudança da base beta para a base alpha.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de beta para alpha em P3(R), onde
alpha = ,t^3,;t^2,;t,;1, beta = ,t^3,;t^2 - t,;t+1,;2t
Em outras palavras, queremos a matriz M tal que, para qualquer polinômio p,
[;p;]alpha ;=; M;[;p;]beta
Para isso, basta escrever cada vetor de beta em coordenadas da base alpha e usar essas coordenadas como colunas de M.

Passo 2

Teoria de mudança de base: se betaj é o j-ésimo vetor de beta, e se
betaj = a1j,t^3 + a2j,t^2 + a3j,t + a4j,1,
então a j-ésima coluna de M (que envia coordenadas em beta para coordenadas em alpha) é
a1j a2j a3j a4j

Passo 3

Escrevemos cada vetor de beta na base alpha:
  1. beta1 = t^3 = 1cdot t^3 + 0cdot t^2 + 0cdot t + 0cdot1
    Rightarrow coordenadas 1000
  2. beta2 = t^2 - t = 0cdot t^3 + 1cdot t^2 + (-1)cdot t + 0cdot1
    Rightarrow coordenadas 01-10
  3. beta3 = t + 1 = 0cdot t^3 + 0cdot t^2 + 1cdot t + 1cdot1
    Rightarrow coordenadas 0011
  4. beta4 = 2t = 0cdot t^3 + 0cdot t^2 + 2cdot t + 0cdot1
    Rightarrow coordenadas 0020

Passo 4

Montando a matriz M cujas colunas são as coordenadas acima, obtemos
M ;=; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0

Resposta

boxed Mbetatoalpha = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0

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