Considere
e
bases do espaço vetorial
.
Determine a matriz de mudança da base
para a base
.
Determine a matriz de mudança da base
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base de
para
em
, onde
Em outras palavras, queremos a matriz
tal que, para qualquer polinômio
,
Para isso, basta escrever cada vetor de
em coordenadas da base
e usar essas coordenadas como colunas de
.
Passo 2
Teoria de mudança de base: se
é o
-ésimo vetor de
, e se
então a
-ésima coluna de
(que envia coordenadas em
para coordenadas em
) é
Passo 3
Escrevemos cada vetor de
beta na base
alpha :
-
beta1 = t^3 = 1cdot t^3 + 0cdot t^2 + 0cdot t + 0cdot1
coordenadasRightarrow 1000 -
beta2 = t^2 - t = 0cdot t^3 + 1cdot t^2 + (-1)cdot t + 0cdot1
coordenadasRightarrow 01-10 -
beta3 = t + 1 = 0cdot t^3 + 0cdot t^2 + 1cdot t + 1cdot1
coordenadasRightarrow 0011 -
beta4 = 2t = 0cdot t^3 + 0cdot t^2 + 2cdot t + 0cdot1
coordenadasRightarrow 0020
Passo 4
Montando a matriz
M cujas colunas são as coordenadas acima, obtemos