( ) O conjunto (1,1,-1,0),(1,1,2,1),(-1,1,1,5) subset R^4 é LI.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
v1=(1,1,-1,0), v2=(1,1,2,1), v3=(-1,1,1,5)
em R^4 é linearmente independente. Vamos usar a definição: são LI se a única combinação
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)
ocorre quando a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos o sistema
a + b - c = 0, a + b + c = 0, -,a + 2b + c = 0, -0cdot a + b + 5c = 0

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda,
(a + b + c) - (a + b - c) = 0 - 0 Longrightarrow 2c = 0 Longrightarrow c=0
Com c=0, a primeira equação dá a + b = 0, ou seja a=-b. A quarta equação vira
b + 5cdot 0 = 0 Longrightarrow b=0,
logo a=-b=0. A terceira equação é satisfeita automaticamente.

Passo 4

O único triplo (a,b,c) que resolve o sistema é (0,0,0). Portanto não há combinação não trivial que anule esses vetores.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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