Se V1=(1,0,0,-1) e V2=(1,1,1,0), considere o seguinte subespaço W de R^4 :
V in W se, e somente se, V é ortogonal a V1 e V é ortogonal a V2 éé
(a) Calcule uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=V=(x,y,z,w)inR^4mid Vperp V1 e Vperp V2
onde
V1=(1,0,0,-1), V2=(1,1,1,0)
O conteúdo é encontrar o ortogonal de um subespaço gerado por V1 e V2, ou seja, resolver dois produtos internos iguais a zero.

Passo 2

Escrevemos as condições Vcdot V1=0 e Vcdot V2=0. Isto dá
xcdot1 + ycdot0 + zcdot0 + wcdot(-1)=0, xcdot1 + ycdot1 + zcdot1 + wcdot0=0,
ou seja
x - w = 0,
x + y + z = 0

Passo 3

Resolvemos o sistema
x - w = 0, x + y + z = 0
Da primeira equação segue w = x. Da segunda, z = -x - y.

Passo 4

Parametrizando por x e y, temos
V=(x,y,z,w)=(x,y,-x-y,x) = x,(1,0,-1,1) + y,(0,1,-1,0)
Logo W=span(1,0,-1,1),(0,1,-1,0).

Passo 5

Como W é gerado por dois vetores independentes, sua dimensão é
dim(W)=2

Resposta

Uma base de W é
, (1,0,-1,1),;(0,1,-1,0),
e dim(W)=2.

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