Considere os seguintes vetores de R^4.
V1=(1,-2,5,-2) e V2=(3,-2,-1,2)
Seja W o conjunto dos vetores de R^4 que são ortogonais a V1 e a V2.
(b) Determine uma base ortogonal U1, U2 para W.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^4,
V1 = (1,-2,5,-2), V2 = (3,-2,-1,2),
e define W como o subespaço ortogonal a ambos. O conteúdo é encontrar W = xinR^4 mid xcdot V1 = 0,;xcdot V2 = 0 e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de dimensão 2.

Passo 2

Para achar uma base de
Eliminando, obtemos . Logo
Uma base qualquer de é

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt em u e v. Definimos
U1 = u = (3,4,1,0),
e computamos a projeção de v sobre U1:
projU1(v) = vcdot U1U1cdot U1,U1 = -1426,U1 = -713,(3,4,1,0)
Então
U2 = v - projU1(v) = (-2,-2,0,1) + tfrac713(3,4,1,0) = l(-tfrac513,tfrac213,tfrac713,1r)
Multiplicando por 13 para evitar frações, podemos usar
U2' = (-5,2,7,13)
Verifica-se que U1cdot U2' = 0.

Resposta

Uma base ortogonal para W é
,U1=(3,4,1,0),;U2=(-5,2,7,13)

Exercícios relacionados