Sabe se que os vetores v e w são múltiplos do vetor u. Seja M a matriz cujas linhas são os vetores u, v e w:
M=[ccc cdots & u & cdots cdots & v & cdots cdots & w & cdots ]
Considere agora E, a matriz obtida de M por escalonamento. Assinale a alternativa falsa.
a. [ ] O conjunto u, v, w é L.D.
b. [ ] Não se pode dizer que o conjunto v é L.I.
c. [ ] E tem uma linha nula.
d. [ ] E tem duas linhas nulas.
e. [ ] Qualquer vetor escrito como combinação linear de u, v e w é múltiplo de apenas um vetor.

Passo 1

O enunciado diz que existem escalares a e b tais que
v = a,u, w = b,u
Logo as três linhas de M são todas múltiplos de u. O conteúdo aqui é dependência linear e posto de matrizes, mais especificamente como fica a forma escalonada (matriz E) quando todas as linhas são colineares.

Passo 2

Como v e w são múltiplos de u, temos
v = a,u, w = b,u,
de modo que existe uma combinação não trivial
(-a),u + 1cdot v + 0cdot w = 0
ou outra qualquer que anule a combinação. Portanto u,v,w é L.D., o que torna a alternativa (a) verdadeira.

Passo 3

O conjunto v é L.I. quando vneq 0. Mas como v = a,u, pode ocorrer a=0 e aí v=0, tornando v L.D. Como não sabemos o valor de a, de fato não se pode dizer que v é L.I. — logo a alternativa (b) é verdadeira.

Passo 4

O posto de M é no máximo 1, pois todas as linhas são colineares.
  • Se uneq 0, o posto é exatamente 1 e, ao escalonar, sobram duas linhas nulas em E.
  • Se u=0, então v=w=0 e todas as três linhas são nulas, mas isso continua garantindo pelo menos uma (e até duas) linhas nulas.
    Logo E tem uma linha nula (alternativa (c) verdadeira) e, no caso não trivial uneq0, tem também exatamente duas linhas nulas (alternativa (d) verdadeira).

Passo 5

Qualquer combinação
alpha,u + beta,v + gamma,w = l(alpha + beta,a + gamma,br),u
é múltiplo de u. Mas como v e w também são múltiplos de u, esse vetor resultante é simultaneamente múltiplo de u, de v e de w, e não “de apenas um” deles. Portanto a alternativa (e) é falsa.

Resposta

e) Qualquer vetor escrito como combinação linear de u,v e w é múltiplo de apenas um vetor.

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