O conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em um intervalo fechado [a, b] em R é denotado por C[a, b]. Esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções reais definidas em [a,b].
a. Quais os fatos sobre funções contínuas que devem ser provados de modo a demonstrar que C[a, b] é de fato um subespaço como foi afirmado? (Esses fatos são geralmente discutidos em um curso de cálculo.)
b. Mostre que f em C[a, b]: f(a)=f(b) é um subespaço de C[a, b].

Passo 1

O enunciado define
C[a,b]=,f:[a,b]toRmid f é contínua em [a,b] éí
e afirma que é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções em [a,b]. Para provar isso, precisamos mostrar que C[a,b] não é vazio, e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Os fatos de cálculo que garantem essas propriedades são:
(i) Se f e g são contínuas em [a,b], então
f+g é contínua em [a,b] éí
(ii) Se f é contínua em [a,b] e cinR, então
c,f é contínua em [a,b] éí
(iii) A função zero, definida por 0(x)=0 para todo x, é contínua em [a,b].

Passo 3

Desses fatos segue que C[a,b] contém a função zero e, sempre que f,gin C[a,b] e cinR, temos f+gin C[a,b] e c,fin C[a,b]. Logo, C[a,b] é subespaço.

Passo 4

Considere agora
S=,fin C[a,b]mid f(a)=f(b)
(i) A função zero satisfaz 0(a)=0=0(b), logo 0in S.
(ii) Se f,gin S, então
(f+g)(a)=f(a)+g(a)=f(b)+g(b)=(f+g)(b),
portanto f+gin S.
(iii) Se fin S e cinR, então
(c,f)(a)=c,f(a)=c,f(b)=(c,f)(b),
logo c,fin S.
Assim, S é subespaço de C[a,b].

Resposta

a) Os fatos a provar são: a soma de contínuas é contínua, o escalar vezes contínua é contínua e a função zero é contínua.
b) O conjunto fin C[a,b]:f(a)=f(b) contém zero e é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço de C[a,b].

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