O conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em um intervalo fechado
em
é denotado por
. Esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções reais definidas em [a,b].
a. Quais os fatos sobre funções contínuas que devem ser provados de modo a demonstrar que
é de fato um subespaço como foi afirmado? (Esses fatos são geralmente discutidos em um curso de cálculo.)
b. Mostre que
é um subespaço de
.
a. Quais os fatos sobre funções contínuas que devem ser provados de modo a demonstrar que
b. Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e afirma que é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções em
. Para provar isso, precisamos mostrar que
não é vazio, e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Os fatos de cálculo que garantem essas propriedades são:
(i) Se e
são contínuas em
, então
(i) Se
(ii) Se
é contínua em
e
, então
(iii) A função zero, definida por
para todo
, é contínua em
.
Passo 3
Desses fatos segue que
contém a função zero e, sempre que
e
, temos
e
. Logo,
é subespaço.
Passo 4
Considere agora
(i) A função zero satisfaz
, logo
.
(ii) Se , então
(ii) Se
portanto
.
(iii) Se e
, então
(iii) Se
logo
.
Assim, é subespaço de
.
Assim,
Resposta
a) Os fatos a provar são: a soma de contínuas é contínua, o escalar vezes contínua é contínua e a função zero é contínua.
b) O conjunto contém zero e é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço de
.
b) O conjunto