Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz 1 & 0 -2 & 1 é diagonalizável. Para isso, vamos mergulhar um pouquinho no mundo das matrizes e entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Vamos precisar falar sobre autovalores e autovetores, que são ferramentas chave para essa verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que, quando a gente subtrai da diagonal principal da matriz e calcula o determinante, a gente consegue informações importantes sobre a matriz. A gente faz isso resolvendo a equação det(A - lambda I) = 0, onde A é a matriz original, lambda é o autovalor e I é a matriz identidade.
Então, o único autovalor é lambda = 1, com multiplicidade algébrica 2 (porque (1 - lambda) aparece duas vezes).
Passo 5
Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica, ou seja, quantos autovetores distintos a gente tem para esse autovalor. Para isso, resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0:
0 & 0 -2 & 0 x y = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
0x + 0y = 0 -2x + 0y = 0
Passo 6
Resolvendo esse sistema, vemos que a segunda equação dá x = 0. A primeira equação não nos dá nenhuma restrição sobre y, então y pode ser qualquer valor real. Portanto, os autovetores têm a forma 0 y, onde y neq 0.
Isso significa que a multiplicidade geométrica é 1 (apenas um autovetor independente), que é menor que a multiplicidade algébrica que é 2.
Resposta
Como a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, a matriz 1 & 0 -2 & 1não é diagonalizável.