Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
[rr1 & 0 -2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz 1 & 0 -2 & 1 é diagonalizável. Para isso, vamos mergulhar um pouquinho no mundo das matrizes e entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Vamos precisar falar sobre autovalores e autovetores, que são ferramentas chave para essa verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que, quando a gente subtrai da diagonal principal da matriz e calcula o determinante, a gente consegue informações importantes sobre a matriz. A gente faz isso resolvendo a equação det(A - lambda I) = 0, onde A é a matriz original, lambda é o autovalor e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 -2 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(-2) = (1 - lambda)^2

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos:
(1 - lambda)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor é lambda = 1, com multiplicidade algébrica 2 (porque (1 - lambda) aparece duas vezes).

Passo 5

Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica, ou seja, quantos autovetores distintos a gente tem para esse autovalor. Para isso, resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0:
0 & 0 -2 & 0 x y = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
0x + 0y = 0 -2x + 0y = 0

Passo 6

Resolvendo esse sistema, vemos que a segunda equação dá x = 0. A primeira equação não nos dá nenhuma restrição sobre y, então y pode ser qualquer valor real. Portanto, os autovetores têm a forma 0 y, onde y neq 0.
Isso significa que a multiplicidade geométrica é 1 (apenas um autovetor independente), que é menor que a multiplicidade algébrica que é 2.

Resposta

Como a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, a matriz 1 & 0 -2 & 1 não é diagonalizável.

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