Seja
uma matriz
fixa e seja
o conjunto de todas as matrizes
em
, com a propriedade de que
(a matriz nula em
). Determine se
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz fixa
e define
Queremos verificar se
é subespaço de
. O conteúdo aqui é reconhecer que
é o núcleo de uma transformação linear e, portanto, testar as propriedades de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e conter o zero).
Passo 2
Defina a aplicação
Mostre que
é linear: para quaisquer
e escalar
,
Passo 3
Observe que
Sabemos que o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Para ver explicitamente:
-
, logo . - Se
, então e , daí logo . - Se
e , logo .
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.