Seja F uma matriz 3 times 2 fixa e seja H o conjunto de todas as matrizes A em M2 times 4, com a propriedade de que F A=0 (a matriz nula em M3 times 4 ). Determine se H é um subespaço de M2 times 4.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz fixa Fin M3times2 e define
H = Ain M2times4mid F,A = 03times4
Queremos verificar se H é subespaço de M2times4. O conteúdo aqui é reconhecer que H é o núcleo de uma transformação linear e, portanto, testar as propriedades de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e conter o zero).

Passo 2

Defina a aplicação
Lcolon M2times4to M3times4, L(A)=F,A
Mostre que L é linear: para quaisquer A,Bin M2times4 e escalar cinR,
L(A+B)=F(A+B)=F,A+F,B=L(A)+L(B),
L(cA)=F(cA)=c,(F,A)=c,L(A)

Passo 3

Observe que
H = Amid F,A=03times4 = ker(L)
Sabemos que o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Para ver explicitamente:
  1. L(02times4)=F,02times4=03times4, logo 02times4in H.
  2. Se A,Bin H, então L(A)=0 e L(B)=0, daí L(A+B)=L(A)+L(B)=0+0=0, logo A+Bin H.
  3. Se Ain H e cinR, L(cA)=c,L(A)=ccdot0=0, logo cAin H.

Resposta

Sim, H é um subespaço de M2times4.

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