Nos Exercícios 15 a 18, seja o conjunto de todos os vetores da forma apresentada, com e representando números reais arbitrários. Em cada caso, encontre um conjunto de vetores que geram ou dê um exemplo mostrando que não é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto W formado por vetores que têm a seguinte forma:
a - b b - c c - a b
onde a , b e c são números reais quaisquer. Nossa missão aqui é descobrir um conjunto de vetores S que “gere” o W ou mostrar um exemplo que prove que W não é um espaço vetorial. Para fazer isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial, subespaço e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “gerar” W . Quando dizemos que um conjunto S gera W , estamos falando que todo vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S . Ou seja, se tivermos um conjunto S = v1, v2, ldots, vn , qualquer vetor em W pode ser obtido somando múltiplos desses vetores.
Passo 3
Vamos então tentar expressar o vetor dado em termos dos parâmetros a , b e c :
a - b b - c c - a b = a 1 0 -1 0 + b -1 1 0 1 + c 0 -1 1 0
Aqui, a gente separou cada componente do vetor original em múltiplos de a , b e c , formando assim três vetores base.
Passo 4
Com isso, identificamos que qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores:
S = 1 0 -1 0 , -1 1 0 1 , 0 -1 1 0
Então, se S gera W , isso significa que S é um conjunto gerador para W .
Passo 5
Agora, vamos verificar se W é um espaço vetorial. Para que W seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certos axiomas, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outros.
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em W . O vetor zero é:
0 0 0 0
Para que o vetor zero esteja em W , precisamos escolher a , b e c de forma que:
a - b = 0, b - c = 0, c - a = 0, b = 0
Resolvendo esse sistema, vemos que b = 0 , a = b = 0 e c = b = 0 . Então, o vetor zero está em W .
Passo 6
Em seguida, vamos checar a adição. Se tivermos dois vetores em W , digamos:
Isso ainda está na forma a' - b' b' - c' c' - a' b' , onde a' = a1 + a2 , b' = b1 + b2 e c' = c1 + c2 . Então, W é fechado sob adição.
Passo 7
Por fim, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor em W por um escalar k , teremos:
k cdot a - b b - c c - a b = k(a - b) k(b - c) k(c - a) k b
Isso também mantém a forma a' - b' b' - c' c' - a' b' , onde a' = k a , b' = k b e c' = k c . Portanto, W é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Encontramos que o conjunto de vetores S = 1 0 -1 0 , -1 1 0 1 , 0 -1 1 0 gera W . Além disso, W satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, então W é de fato um espaço vetorial.