O conjunto de todas as funções reais e contínuas tal que
é um subespaço de
(Espaço das funções contínuas definidas no intervalo
)? E se considerarmos o conjunto das funções reais e contínuas tal que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas coleções de funções contínuas reais definidas em todo o intervalo
. A primeira coleção é de todas as funções
que satisfazem
. A segunda é de todas as funções que satisfazem
. Nosso objetivo é verificar se essas coleções são subespaços do espaço
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você somar dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um elemento do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas três propriedades para cada uma das coleções de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a coleção de funções onde
.
-
Vetor Zero: A função zero, que é
para todo , claramente satisfaz . Então, o vetor zero está nessa coleção. -
Fechamento sob Adição: Suponha que temos duas funções
e na coleção, ou seja, e . A soma dessas funções, , é também uma função contínua e, em particular, . Portanto, a soma está na coleção. -
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Seja
um número real qualquer e uma função na coleção com . A função também é contínua, e . Assim, está na coleção.
Como a coleção satisfaz todas as três propriedades, ela é um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda coleção de funções onde
.
- Vetor Zero: A função zero,
para todo , tem , que não é igual a 2. Isso já quebra a primeira condição para ser um subespaço.
Como a coleção não contém o vetor zero, ela não pode ser um subespaço, independentemente das outras propriedades.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções contínuas reais com
é um subespaço de
. Por outro lado, o conjunto de funções contínuas reais com
não é um subespaço.