O conjunto de todas as funções reais e contínuas tal que f(0)=0 é um subespaço de F(-infty, infty) (Espaço das funções contínuas definidas no intervalo (-infty, infty) )? E se considerarmos o conjunto das funções reais e contínuas tal que f(0)=2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas coleções de funções contínuas reais definidas em todo o intervalo . A primeira coleção é de todas as funções que satisfazem . A segunda é de todas as funções que satisfazem . Nosso objetivo é verificar se essas coleções são subespaços do espaço .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um elemento do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas três propriedades para cada uma das coleções de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a coleção de funções onde .
  1. Vetor Zero: A função zero, que é para todo , claramente satisfaz . Então, o vetor zero está nessa coleção.
  2. Fechamento sob Adição: Suponha que temos duas funções e na coleção, ou seja, e . A soma dessas funções, , é também uma função contínua e, em particular, . Portanto, a soma está na coleção.
  3. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Seja um número real qualquer e uma função na coleção com . A função também é contínua, e . Assim, está na coleção.
Como a coleção satisfaz todas as três propriedades, ela é um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda coleção de funções onde .
  1. Vetor Zero: A função zero, para todo , tem , que não é igual a 2. Isso já quebra a primeira condição para ser um subespaço.
Como a coleção não contém o vetor zero, ela não pode ser um subespaço, independentemente das outras propriedades.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções contínuas reais com é um subespaço de . Por outro lado, o conjunto de funções contínuas reais com não é um subespaço.

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