Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R^3 ?
a) W=(x, 0,0) mid x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos checar se satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Na definição de , temos que pode ser qualquer número real. Se escolhermos , então está em . Portanto, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de e somarmos eles, o resultado também deve estar em . Vamos considerar dois vetores e em . A soma deles é . Como é um número real, também está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real, o resultado também deve estar em . Vamos pegar um vetor em e multiplicar por um escalar . Temos . Como é um número real, está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três propriedades necessárias, é um subespaço de .

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