Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos checar se
satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Na definição de
, temos que
pode ser qualquer número real. Se escolhermos
, então
está em
. Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de
e somarmos eles, o resultado também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores
e
em
. A soma deles é
. Como
é um número real,
também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real, o resultado também deve estar em
. Vamos pegar um vetor
em
e multiplicar por um escalar
. Temos
. Como
é um número real,
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as três propriedades necessárias,
é um subespaço de
.