Dados valores amostrais de uma função , pontos em , com e e podemos estimar $f- para os pontos extremos
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores das aproximações da derivada.
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com alguns pontos amostrais e seus respectivos valores . O objetivo é estimar a derivada dessa função nos pontos dados usando aproximações e, a partir disso, construir uma matriz que represente essa transformação linear.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo numérico, especificamente métodos de diferenciação para estimar derivadas a partir de valores discretos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos fornecidos no intervalo x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 9 :
y0, y1, y2, y3
E seus respectivos valores de função:
Passo 3
Para os pontos extremos g0 = y1 - y0x1 - x0, g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y02 - 1 = y1 - y0 , a derivada é aproximada usando a diferença finita simples:
g3 = y3 - y29 - 4 = y3 - y25
Vamos calcular essas derivadas:
Passo 4
Para os pontos interiores gi = (xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e onde alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , a fórmula fornecida é um pouco mais complicada. Ela envolve uma combinação ponderada dos valores de alpha1 = (4 - 2)(2 - 1)(4 - 1) = 2 times 1 times 3 = 6 nos pontos vizinhos. A fórmula geral é:
alpha2 = (9 - 4)(4 - 2)(9 - 2) = 5 times 2 times 7 = 70