Dados valores amostrais de uma função f:[a,b] R, pontos xi em [a,b], com i=0,1,2,,N e a=x0 e f(xi)=yi podemos estimar $f- para os pontos extremos
f- para os pontos extremos [ g0=y1-y0x1-x0, gN=yN-yN-1xN-xN-1; ] - para os pontos interiores, [ gi=&(xi+1-xi)^2alphaiyi-1 &+(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphaiyi &+(xi-xi-1)^2alphaiyi+1 ] onde
  • para os pontos interiores,
Para o intervalo
onde , considere a seguinte malha: . Para o intervalo e , considere a seguinte malha: Escreva a matriz que representa a transformação linear que <=va os valores da função nos valores das aproximações da derivada [ T(y0,y1,y2,y3)=(g0,g1,g2,g3) ] Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a mais precisa e a derivada em e da parábola que interpola os pontos . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores das aproximações da derivada.
e
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a mais precisa e a derivada em Pode, ainda ser calculada utilizando, respectivamente, da parábola que interpola os pontos e e (peso maior para o ponto mais próximo) (A) . Pode, ainda ser calculada utilizando, respectivamente, rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 12 & 0 0 & -16 & 12 & 13 0 & 0 & -12 & 14 e (B) (peso maior para o ponto mais próximo)
(A) cccc-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 1 & 0 0 & -5 & 3 & 13 0 & 0 & -13 & 5
(B) (C)
© rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -110 & 310 & 25 & 0 0 & -110 & -12 & 12 0 & 0 & -12 & 1
(D) (D)
(E) rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -215 & 110 & 25 0 & 0 & -14 & 14
(F) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo com alguns pontos amostrais e seus respectivos valores . O objetivo é estimar a derivada dessa função nos pontos dados usando aproximações e, a partir disso, construir uma matriz que represente essa transformação linear.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo numérico, especificamente métodos de diferenciação para estimar derivadas a partir de valores discretos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos fornecidos no intervalo x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 9 :
y0, y1, y2, y3
E seus respectivos valores de função:

Passo 3

Para os pontos extremos g0 = y1 - y0x1 - x0, g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y02 - 1 = y1 - y0 , a derivada é aproximada usando a diferença finita simples:
g3 = y3 - y29 - 4 = y3 - y25
Vamos calcular essas derivadas:

Passo 4

Para os pontos interiores gi = (xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e onde alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , a fórmula fornecida é um pouco mais complicada. Ela envolve uma combinação ponderada dos valores de alpha1 = (4 - 2)(2 - 1)(4 - 1) = 2 times 1 times 3 = 6 nos pontos vizinhos. A fórmula geral é:
alpha2 = (9 - 4)(4 - 2)(9 - 2) = 5 times 2 times 7 = 70
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular g1 = (4 - 2)^26 y0 + (4 - 2)^2 - (2 - 1)^26 y1 + (2 - 1)^26 y2 e g1 = 46 y0 + 4 - 16 y1 + 16 y2 = 23 y0 + 36 y1 + 16 y2 usando as fórmulas acima.
Para g1 = 23 y0 + 12 y1 + 16 y2 :
g2 = (9 - 4)^270 y1 + (9 - 4)^2 - (4 - 2)^270 y2 + (4 - 2)^270 y3
g2 = 2570 y1 + 25 - 470 y2 + 470 y3 = 514 y1 + 2170 y2 + 235 y3
g2 = 12.8 y1 + 310 y2 + 235 y3
Para :

Passo 6

Agora, vamos organizar todas as derivadas g0 = -y0 + y1 g1 = 23 y0 + 12 y1 + 16 y2 g2 = 12.8 y1 + 310 y2 + 235 y3 g3 = y3 - y25 em termos de :
Vamos ajustar os coeficientes para facilitar a comparação com as opções fornecidas.

Passo 7

Montando a matriz de transformação T = -1 & 1 & 0 & 0 23 & 12 & 16 & 0 0 & 12.8 & 310 & 235 0 & 0 & -15 & 15 que leva T = -1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 1 & 0 0 & -16 & 12 & 13 0 & 0 & -12 & 14 para :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A matriz que representa a transformação linear [rrrr -12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 12 & 0 0 & -16 & 12 & 13 0 & 0 & -12 & 14 ] é a letra (A):

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