O conjunto G=G L(3, R) de todas as matrizes 3 times 3 invertíveis com coeficientes em um corpo R é um exemplo de um grupo (não abeliano), em relação a operação produto de matrizes. Mostre que o conjunto
H=A in G L(n, K) ; det A=1
é um subgrupo de G L(n, K).

Passo 1

O enunciado diz que G = GL(n,K) é o grupo de todas as matrizes invertíveis de ordem n sobre o corpo K, com a operação de produto de matrizes, e define
H = A in GL(n,K) mid det A = 1
Queremos mostrar que H é um subgrupo de G. Para isso, vamos usar as propriedades básicas de grupos e a multiplicatividade do determinante.

Passo 2

Verificamos que a matriz identidade In de ordem n pertence a H. De fato, sabemos que
det In = 1
pela propriedade do determinante. Como In in GL(n,K) e det In=1, concluímos que In in H.

Passo 3

Mostramos que H é fechado para o produto. Tomemos duas matrizes quaisquer A,B in H. Então det A = 1 e det B = 1. Como o determinante é multiplicativo, temos
det(AB) = (det A),(det B) = 1 cdot 1 = 1
Além disso, AB é invertível (produto de invertíveis é invertível), logo AB in GL(n,K). Portanto AB in H.

Passo 4

Mostramos que H é fechado para inversos. Seja A in H. Sabemos que A é invertível e det A = 1. A propriedade do determinante para inversa diz
det(A^-1) = 1det A = 11 = 1
Como A^-1in GL(n,K) e det(A^-1)=1, segue A^-1in H.

Passo 5

Concluímos que H satisfaz as três condições de subgrupo (contém a identidade, é fechado sob produto e fechado sob inversos). Logo,
H = A in GL(n,K) mid det A = 1
é um subgrupo de GL(n,K).

Resposta

H é subgrupo de GL(n,K).

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