O conjunto
de todas as matrizes
invertíveis com coeficientes em um corpo
é um exemplo de um grupo (não abeliano), em relação a operação produto de matrizes. Mostre que o conjunto
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o grupo de todas as matrizes invertíveis de ordem
sobre o corpo
, com a operação de produto de matrizes, e define
Queremos mostrar que
é um subgrupo de
. Para isso, vamos usar as propriedades básicas de grupos e a multiplicatividade do determinante.
Passo 2
Verificamos que a matriz identidade
de ordem
pertence a
. De fato, sabemos que
pela propriedade do determinante. Como
e
, concluímos que
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado para o produto. Tomemos duas matrizes quaisquer
. Então
e
. Como o determinante é multiplicativo, temos
Além disso,
é invertível (produto de invertíveis é invertível), logo
. Portanto
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado para inversos. Seja
. Sabemos que
é invertível e
. A propriedade do determinante para inversa diz
Como
e
, segue
.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz as três condições de subgrupo (contém a identidade, é fechado sob produto e fechado sob inversos). Logo,
é um subgrupo de
.