Determine a equação da parábola:
i. cujo foco é F(0,1) e cuja diretriz é a reta r: 2 x-y=0;
Resp. x^2+4 y^2+4 x y-10 y+5=0;

Passo 1

O enunciado dá o foco F(0,1) e a diretriz r:2x-y=0. O conteúdo é parábola definida como o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que ficam à mesma distância de F e de r.

Passo 2

A distância de P(x,y) até o foco é
raiz(x-0)^2+(y-1)^2=raizx^2+(y-1)^2
A distância de P(x,y) até a reta 2x-y=0 é
l|2x-yr|raiz2^2+(-1)^2=l|2x-yr|raiz5
Pela definição de parábola, essas distâncias são iguais:
raizx^2+(y-1)^2=l|2x-yr|raiz5

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por 5 resulta em
5l(x^2+(y-1)^2r)=(2x-y)^2
Expandindo cada lado:
5x^2+5l(y^2-2y+1r)=4x^2-4xy+y^2

Passo 4

Distribuindo e trazendo todos os termos para um lado:
5x^2+5y^2-10y+5-4x^2+4xy-y^2=0
x^2+4y^2+4xy-10y+5=0

Resposta

x^2+4y^2+4xy-10y+5=0

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