Seja G o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja H o subconjunto G formado pelas matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 )
onde x in R. Prove que
a) H<G.

Passo 1

O enunciado define G como o grupo (sob multiplicação) de todas as matrizes quadradas triangulares superiores de ordem 2 invertíveis, e o subconjunto
H=l1 & x0 & 1m|xinRr
O conteúdo envolvido é teoria de grupos e, em particular, o critério de subgrupo: para mostrar que H é um subgrupo de G, basta verificar que (i) a identidade de G está em H, (ii) H é fechado sob a operação do grupo (aqui, produto de matrizes) e (iii) contém inversos de todos os seus elementos.

Passo 2

Verificamos que a identidade de G pertence a H. A identidade em G é
I = 1 & 00 & 1
Tomando x=0, vemos que
1 & 00 & 1;in;H
Logo, H não é vazio e já contém o elemento identidade.

Passo 3

Mostramos a fechadura em H. Sejam
A = 1 & x0 & 1 e B = 1 & y0 & 1
elementos de H. Então o produto em G é
AB = 1 & x0 & 1 1 & y0 & 1 = 1cdot1 + xcdot0 & 1cdot y + xcdot1 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot y + 1cdot1 = 1 & x+y0 & 1
Como x+yinR, o produto AB pertence a H. Portanto, H é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Mostramos que todo elemento de H tem o inverso em H. Para
A = 1 & x0 & 1 in H,
o inverso em G (matriz inversível triangular superior) é
A^-1 = 1 & -x0 & 1,
pois
A,A^-1 = 1 & x0 & 1 1 & -x0 & 1 = 1 & x + (-x)0 & 1 = I
Como -xinR, temos A^-1in H.

Resposta

Portanto, H satisfaz todas as condições do critério de subgrupo, logo H<G.

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