O conjunto de todas as matrizes reais quadradas
de ordem
tais que
é um subespaço de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se o conjunto de todas as matrizes quadradas reais
de ordem
com traço igual a zero, ou seja,
, forma um subespaço de
. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada
é a soma dos elementos da diagonal principal. Matematicamente,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. A matriz zero, que tem todos os elementos iguais a zero, obviamente tem traço igual a zero. Então, o vetor zero pertence ao nosso conjunto.
Passo 4
Em seguida, precisamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se
e
são duas matrizes no conjunto (com traço zero), então a matriz
também deve ter traço zero. Calculando:
Portanto,
está no conjunto.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se
está no conjunto e
é um número real, então a matriz
também deve ter traço zero. Calculando:
Então,
também está no conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes quadradas reais de ordem
com traço igual a zero é um subespaço de
.