O conjunto de todas as matrizes reais quadradas A de ordem n tais que tr(A)=0 é um subespaço de Mn(R) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se o conjunto de todas as matrizes quadradas reais de ordem com traço igual a zero, ou seja, , forma um subespaço de . Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Matematicamente, .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. A matriz zero, que tem todos os elementos iguais a zero, obviamente tem traço igual a zero. Então, o vetor zero pertence ao nosso conjunto.

Passo 4

Em seguida, precisamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 + 0 = 0 e são duas matrizes no conjunto (com traço zero), então a matriz também deve ter traço zero. Calculando:
Portanto, está no conjunto.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tr(cA) = c cdot tr(A) = c cdot 0 = 0 está no conjunto e é um número real, então a matriz também deve ter traço zero. Calculando:
Então, também está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as matrizes quadradas reais de ordem com traço igual a zero é um subespaço de .

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