Escreva o polinômio como combinação linear de , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o polinômio como uma combinação linear de três outros polinômios: , e . Isso significa que precisamos encontrar números (coeficientes) que, quando multiplicados por esses polinômios e somados, resultem em . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nos coeficientes de (constante), e .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que os coeficientes que estamos procurando são , e , de forma que:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm a mesma potência de :
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação. Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
a - b + 2c = 8 Rightarrow a = 8 + b - 2c
Passo 7
Substituímos 2(8 + b - 2c) + b + 3c = 7 da equação acima nas outras duas equações:
Primeira equação:
16 + 2b - 4c + b + 3c = 7
3b - c = -9 (Equação A)
4(8 + b - 2c) + 3b + 5c = 9 çã
Terceira equação:
32 + 4b - 8c + 3b + 5c = 9
7b - 3c = -23 (Equação B)
çã
Passo 8
Agora, temos um sistema com duas equações:
3b - c = -9 & (Equação A) 7b - 3c = -23 & (Equação B) çãçã
Vamos resolver a Equação A para c = 3b + 9 :
Passo 9
Substituímos 7b - 3(3b + 9) = -23 na Equação B:
7b - 9b - 27 = -23
-2b = 4 Rightarrow b = -2
Passo 10
Com o valor de c = 3(-2) + 9 = -6 + 9 = 3 , encontramos :
Passo 11
Agora, retornamos ao passo 6 para encontrar a = 8 + (-2) - 2(3) = 8 - 2 - 6 = 0 :
Resposta
Portanto, o polinômio p(x) = 0 cdot p1(x) - 2 cdot p2(x) + 3 cdot p3(x) pode ser escrito como: