Escreva o polinômio p(x)=7+8 x+9 x^2 como combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o polinômio como uma combinação linear de três outros polinômios: , e . Isso significa que precisamos encontrar números (coeficientes) que, quando multiplicados por esses polinômios e somados, resultem em . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nos coeficientes de (constante), e .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que os coeficientes que estamos procurando são p(x) = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) , 7 + 8x + 9x^2 = a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2) e , de forma que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes 7 + 8x + 9x^2 = 2a + a x + 4a x^2 + b - b x + 3b x^2 + 3c + 2c x + 5c x^2 , e dentro dos parênteses:

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm a mesma potência de 7 + 8x + 9x^2 = (2a + b + 3c) + (a - b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x^2 :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de 2a + b + 3c = 7 & (coeficiente de x^0) a - b + 2c = 8 & (coeficiente de x^1) 4a + 3b + 5c = 9 & (coeficiente de x^2) dos dois lados da equação. Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
a - b + 2c = 8 Rightarrow a = 8 + b - 2c

Passo 7

Substituímos 2(8 + b - 2c) + b + 3c = 7 da equação acima nas outras duas equações:
Primeira equação:
16 + 2b - 4c + b + 3c = 7
3b - c = -9 (Equação A)
4(8 + b - 2c) + 3b + 5c = 9 çã
Terceira equação:
32 + 4b - 8c + 3b + 5c = 9
7b - 3c = -23 (Equação B)
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema com duas equações:
3b - c = -9 & (Equação A) 7b - 3c = -23 & (Equação B) çãçã
Vamos resolver a Equação A para c = 3b + 9 :

Passo 9

Substituímos 7b - 3(3b + 9) = -23 na Equação B:
7b - 9b - 27 = -23
-2b = 4 Rightarrow b = -2

Passo 10

Com o valor de c = 3(-2) + 9 = -6 + 9 = 3 , encontramos :

Passo 11

Agora, retornamos ao passo 6 para encontrar a = 8 + (-2) - 2(3) = 8 - 2 - 6 = 0 :

Resposta

Portanto, o polinômio p(x) = 0 cdot p1(x) - 2 cdot p2(x) + 3 cdot p3(x) pode ser escrito como:
p(x) = -2p2(x) + 3p3(x)
Ou seja,

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