O conjunto de todos os polinômios de grau 3, com coeficientes reais e munido das leis usuais, juntamente com o polinômio nulo, forma um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
munido da soma e da multiplicação escalar usuais, e pergunta se isso é um espaço vetorial sobre
. Para responder, vamos usar a caracterização de subespaço vetorial: em particular, precisamos verificar fechamento em soma e em multiplicação escalar (além de existência do vetor nulo e de inversos aditivos, mas estes últimos já estão garantidos pela inclusão de
e pela linearidade usual).
Passo 2
Verificação do fechamento em adição: tomemos
Ambos têm grau
, pois o coeficiente de
em
é
. Logo
. Vamos somar:
O polinômio resultante é
, que é de grau
e não é o polinômio nulo. Portanto
.
Passo 3
Como a soma de dois vetores de
(no exemplo acima) não pertence a
, falha o fechamento em adição. Isso já basta para concluir que
não é subespaço de
e, portanto, não é espaço vetorial.
Resposta
Não. O conjunto não é fechado sob adição, logo não forma um espaço vetorial sobre
.