O conjunto de todos os polinômios de grau 3, com coeficientes reais e munido das leis usuais, juntamente com o polinômio nulo, forma um espaço vetorial sobre R ?

Passo 1

O enunciado considera o conjunto
V = ,p(x)inR[x]mid deg p=3;cup;0
munido da soma e da multiplicação escalar usuais, e pergunta se isso é um espaço vetorial sobre R. Para responder, vamos usar a caracterização de subespaço vetorial: em particular, precisamos verificar fechamento em soma e em multiplicação escalar (além de existência do vetor nulo e de inversos aditivos, mas estes últimos já estão garantidos pela inclusão de 0 e pela linearidade usual).

Passo 2

Verificação do fechamento em adição: tomemos
p(x)=x^3+1, q(x)=-,x^3+1
Ambos têm grau 3, pois o coeficiente de x^3 em q é -1. Logo p,qin V. Vamos somar:
p(x)+q(x) = (x^3+1)+(-x^3+1) = 2
O polinômio resultante é 2, que é de grau 0 e não é o polinômio nulo. Portanto p+qnotin V.

Passo 3

Como a soma de dois vetores de V (no exemplo acima) não pertence a V, falha o fechamento em adição. Isso já basta para concluir que V não é subespaço de R[x] e, portanto, não é espaço vetorial.

Resposta

Não. O conjunto não é fechado sob adição, logo não forma um espaço vetorial sobre R.

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