Considere
o conjunto dos números inteiros com a adição usual e multiplicação por escalar definidas por
onde
denota o maior inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
Mostre que
não é espaço vetorial em relação a estas operações, mostrando quais axiomas não se verificam.
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual (que já faz de
um grupo abeliano) e a multiplicação por escalar
onde
é o piso de
. O conteúdo que vamos usar é a lista de axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui
) agindo num grupo abeliano. Mostraremos que dois desses axiomas não se verificam com esta definição de
.
Passo 2
Primeiro, notemos que
é de fato um grupo abeliano:
- fechamento, associatividade e comutatividade decorrem da adição usual de inteiros;
- o elemento neutro é
e o inverso de é .
Também conferimos que
ou seja, o escalar
age como identidade e
envia tudo ao vetor nulo, conforme exigido.
Passo 3
Agora testamos a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, isto é, a propriedade
Escolhemos, por exemplo,
e
. Então
enquanto
Como
, essa distributividade falha.
Passo 4
Em seguida testamos a compatibilidade da multiplicação por escalar, ou seja,
Tomemos
,
e
. Então
enquanto
Dá
, logo a compatibilidade escalar também não se verifica.
Resposta
- a distributividade em relação à soma de escalares:
, - a compatibilidade da multiplicação escalar:
.