Considere Z o conjunto dos números inteiros com a adição usual e multiplicação por escalar definidas por
alpha circ k=|alpha| cdot k, para todo k in Z
onde |alpha| denota o maior inteiro menor ou igual a alpha. Por exemplo,
2,32 circ 4=|2,32| cdot k=2 cdot 4
Mostre que Z não é espaço vetorial em relação a estas operações, mostrando quais axiomas não se verificam.

Passo 1

O enunciado define em Z a adição usual (que já faz de Z um grupo abeliano) e a multiplicação por escalar
alphacirc k = lfloor alpharfloor;k,
onde lfloor alpharfloor é o piso de alpha. O conteúdo que vamos usar é a lista de axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui R) agindo num grupo abeliano. Mostraremos que dois desses axiomas não se verificam com esta definição de circ.

Passo 2

Primeiro, notemos que (Z,+) é de fato um grupo abeliano:
  • fechamento, associatividade e comutatividade decorrem da adição usual de inteiros;
  • o elemento neutro é 0 e o inverso de k é -k.
    Também conferimos que
1circ k = lfloor1rfloor,k = 1cdot k = k e 0circ k = lfloor0rfloor,k = 0,
ou seja, o escalar 1 age como identidade e 0 envia tudo ao vetor nulo, conforme exigido.

Passo 3

Agora testamos a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, isto é, a propriedade
(alpha + beta)circ k ;=; alphacirc k ;+;betacirc k
Escolhemos, por exemplo, alpha=beta=0,7 e k=1. Então
(alpha+beta)circ1 = lfloor1,4rfloorcdot1 =1,
enquanto
alphacirc1+betacirc1 =lfloor0,7rfloorcdot1 +lfloor0,7rfloorcdot1 =0+0 =0
Como 1 neq 0, essa distributividade falha.

Passo 4

Em seguida testamos a compatibilidade da multiplicação por escalar, ou seja,
(alphabeta)circ k ;=;alphacirc(betacirc k)
Tomemos alpha=1,5, beta=2,3 e k=1. Então
(alphabeta)circ1 =lfloor3,45rfloorcdot1 =3,
enquanto
betacirc1 = lfloor2,3rfloorcdot1=2, alphacirc(betacirc1) =lfloor1,5rfloorcdot2 =1cdot2 =2
3neq2, logo a compatibilidade escalar também não se verifica.

Resposta

Z não é espaço vetorial, pois falham
  1. a distributividade em relação à soma de escalares: (alpha+beta)circ kneq alphacirc k+betacirc k,
  2. a compatibilidade da multiplicação escalar: (alphabeta)circ kneqalphacirc(betacirc k).

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