Considere o espaço vetorial P3(R) sobre R. Mostre que o subconjunto
S=p(x) in P3(R) / p(-1)=0 e p^prime(1)=0
é um subespaço vetorial de P3(R).

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial P3(R) (polinômios de grau <=3 com coeficientes em R) e define
S = ,p(x)inP3(R) mid p(-1)=0 e p'(1)=0
Para mostrar que S é subespaço, vamos usar o critério usual:
1. Verificar que o polinômio zero está em S.
2. Verificar que S é fechado sob soma: p,qin Simplies p+qin S.
3. Verificar que S é fechado sob multiplicação escalar: pin S,;lambdainRimplies lambda pin S.

Passo 2

Mostramos que o polinômio zero p(x)=0 pertence a S. De fato,
p(-1)=0, p'(x)=0 forall ximplies p'(1)=0,
logo pin S. Assim, Sneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma. Se p,qin S, então
(p+q)(-1)=p(-1)+q(-1)=0+0=0,
e
(p+q)'(1)=p'(1)+q'(1)=0+0=0
Portanto p+qin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Se pin S e lambdainR, então
(lambda p)(-1)=lambda,p(-1)=lambdacdot0=0,
e
(lambda p)'(1)=lambda,p'(1)=lambdacdot0=0
Logo lambda pin S.

Resposta

S satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar) e, portanto, é um subespaço vetorial de P3(R).

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