Exercício 2. Defina Vp=f: R R ; f é uma função par e Vi=f: R R ; f é uma função ímpar .
(a) Mostre que Vp e Vi são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot).
(b) Mostre que F(R)=Vp oplus Vi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos de funções pares e ímpares são subespaços vetoriais de F(R) e que todo elemento de F(R) pode ser escrito de forma única como soma de uma parte par e uma parte ímpar, ou seja,
F(R)=Vpoplus Vi.
O conteúdo envolve definição de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e presença do vetor zero) e decomposição em soma direta.

Passo 2

Mostramos que Vp é subespaço. Deve satisfazer:
– O vetor zero: a função zero 0(x)=0 satisfaz 0(-x)=0=0(x), logo 0in Vp.
– Fechamento em soma: se f,gin Vp então f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x), portanto
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
o que implica f+gin Vp.
– Fechamento em multiplicação escalar: para alphainR e fin Vp
(alpha f)(-x)=alpha f(-x)=alpha f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin Vp.
Assim, Vp é subespaço.

Passo 3

Analogamente, Vi é subespaço. Conferimos:
0(x)=0 satisfaz 0(-x)=0=-0= -0(x), então 0in Vi.
– Se f,gin Vi, f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x), logo
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
portanto f+gin Vi.
– Para alphainR e fin Vi
(alpha f)(-x)=alpha f(-x)=alpha(-f(x))=-(alpha f)(x),
logo alpha fin Vi.
Assim, Vi é subespaço.

Passo 4

Mostramos que todo finF(R) pode ser escrito como soma de uma parte par e outra ímpar. Definimos
fp(x)=f(x)+f(-x)2, fi(x)=f(x)-f(-x)2
Então,
fp(-x)=f(-x)+f(x)2=fp(x), fi(-x)=f(-x)-f(x)2=-fi(x),
portanto fpin Vp e fiin Vi. Além disso,
fp(x)+fi(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x),
de onde a soma reproduz f.

Passo 5

Para verificar que é soma direta, observamos
Vpcap Vi=finF(R)mid f(-x)=f(x) e f(-x)=-f(x)
implica f(x)=-f(x) para todo x, ou seja, fequiv0. Assim, a intersecção é 0, garantindo unicidade da decomposição. Logo
F(R)=Vpoplus Vi

Resposta

(a) Vp e Vi são subespaços de F(R).
(b) F(R)=Vpoplus Vi.

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