Exercício 2. Defina
é uma função par
e
é uma função ímpar
.
(a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
.
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos de funções pares e ímpares são subespaços vetoriais de
e que todo elemento de
pode ser escrito de forma única como soma de uma parte par e uma parte ímpar, ou seja,
.
O conteúdo envolve definição de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e presença do vetor zero) e decomposição em soma direta.
O conteúdo envolve definição de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e presença do vetor zero) e decomposição em soma direta.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço. Deve satisfazer:
– O vetor zero: a função zero satisfaz
, logo
.
– Fechamento em soma: se então
e
, portanto
– O vetor zero: a função zero
– Fechamento em soma: se
o que implica
.
– Fechamento em multiplicação escalar: para e
– Fechamento em multiplicação escalar: para
logo
.
Assim, é subespaço.
Assim,
Passo 3
Analogamente,
é subespaço. Conferimos:
– satisfaz
, então
.
– Se ,
e
, logo
–
– Se
portanto
.
– Para e
– Para
logo
.
Assim, é subespaço.
Assim,
Passo 4
Mostramos que todo
pode ser escrito como soma de uma parte par e outra ímpar. Definimos
Então,
portanto
e
. Além disso,
de onde a soma reproduz
.
Passo 5
Para verificar que é soma direta, observamos
implica
para todo
, ou seja,
. Assim, a intersecção é
, garantindo unicidade da decomposição. Logo
Resposta
(a)
e
são subespaços de
.
(b) .
(b)