Exercício 9. Verificar se as seguintes matrizes A1, A2, A3, A4, geram o espaço vetorial (M2(R),+, cdot), onde:
A1=(ll 1 & 0 0 & 1 ), A2=(ll 1 & 1 0 & 0 ), A3=(ll 0 & 0 1 & 1 ), A4=(ll 0 & 1 2 & 1 )

Passo 1

Temos as matrizes em e queremos saber se elas geram todo o espaço, isto é, se para qualquer matriz genérica
existe combinação linear

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando as entradas, obtemos o sistema
x1+x2=a, x2+x4=b, x3+2x4=c, x1+x3+x4=d

Passo 3

Da primeira equação x1=a-x2, da segunda x2=b-x4 e da terceira x3=c-2x4. Substituindo na quarta:
(a-x2)+(c-2x4)+x4=d ;Longrightarrow; a-(b-x4)+c-2x4+x4=d ;Longrightarrow; a+c-b=d,
ou seja,
a+c=b+d

Passo 4

A condição a+c=b+d é necessária para que haja solução, mas nem toda matriz de M2(R) a satisfaz (por exemplo 1&00&0). Logo, não é possível gerar todo o espaço com essas quatro matrizes.

Resposta

As matrizes A1,A2,A3,A4 não geram o espaço M2(R).

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