Exercício 9. Verificar se as seguintes matrizes
, geram o espaço vetorial
, onde:
Passo 1
Temos as matrizes
em
e queremos saber se elas geram todo o espaço, isto é, se para qualquer matriz genérica
existe combinação linear
Passo 2
Escrevendo a combinação e igualando as entradas, obtemos o sistema
Passo 3
Da primeira equação
x1=a-x2 , da segunda
x2=b-x4 e da terceira
x3=c-2x4 . Substituindo na quarta:
ou seja,
Passo 4
A condição
a+c=b+d é necessária para que haja solução, mas nem toda matriz de
M2(R) a satisfaz (por exemplo
1&00&0 ). Logo, não é possível gerar todo o espaço com essas quatro matrizes.
Resposta
As matrizes
A1,A2,A3,A4 não geram o espaço
M2(R) .