Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime=4 x-x^34+y^2, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
y' = 4x - x^34 + y^2, y(0) = 1
Estamos lidando com equações diferenciais que relacionam uma função y e sua derivada y'. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. A ideia é colocar tudo o que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro lado.
Começamos multiplicando ambos os lados por (4 + y^2):
(4 + y^2) , dy = (4x - x^3) , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integramos o lado esquerdo em termos de y:
integral (4 + y^2) , dy = integral (4x - x^3) , dx

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 4 , dy + integral y^2 , dy = 4y + y^33 + C1
Para o lado direito:
integral 4x , dx - integral x^3 , dx = 2x^2 - x^44 + C2

Passo 5

Igualamos as duas expressões:
4y + y^33 + C1 = 2x^2 - x^44 + C2
Podemos simplificar subtraindo C1 de ambos os lados e chamando C = C2 - C1:
4y + y^33 = 2x^2 - x^44 + C

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C. Substituímos x = 0 e y = 1 na equação:
4(1) + 1^33 = 2(0)^2 - 0^44 + C 4 + 13 = C C = 133

Passo 7

Substituímos o valor de C de volta na equação geral:
4y + y^33 = 2x^2 - x^44 + 133
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
12 cdot 4y + 12 cdot y^33 = 12 cdot 2x^2 - 12 cdot x^44 + 12 cdot 133 48y + 4y^3 = 24x^2 - 3x^4 + 52

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
4y + y^33 = 2x^2 - x^44 + 133

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