Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais que relacionam uma função
e sua derivada
. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. A ideia é colocar tudo o que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro lado.
Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integramos o lado esquerdo em termos de
:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Igualamos as duas expressões:
Podemos simplificar subtraindo
de ambos os lados e chamando
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Passo 7
Substituímos o valor de
de volta na equação geral:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: