Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar essa solução usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica da equação diferencial. A equação dada é
. Substituindo
por
,
por
e
por
, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Como a raiz dentro da raiz quadrada é negativa, temos soluções complexas. Podemos escrever
como
, onde
é a unidade imaginária. Então:
Isso nos dá duas raízes complexas:
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a parte real da raiz e
é a parte imaginária. No nosso caso,
e
. Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiramente, aplicamos
:
Então, já sabemos que
.
Passo 7
Em seguida, precisamos calcular a derivada de
para usar a condição
. Vamos derivar
:
Usando a regra do produto e derivando cada parte:
Passo 8
Agora, aplicamos
. Substituindo
na expressão de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: