Resolva as seguintes equações diferenciais
2 y^prime prime-2 y^prime+y=0, y(0)=-1, y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial 2 y'' - 2 y' + y = 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 2. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar essa solução usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica da equação diferencial. A equação dada é 2 y'' - 2 y' + y = 0. Substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1, a equação característica fica:
2 r^2 - 2 r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = -2 e c = 1. Substituindo:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 2 cdot 12 cdot 2 = 2 pm raiz4 - 84 = 2 pm raiz-44

Passo 4

Como a raiz dentro da raiz quadrada é negativa, temos soluções complexas. Podemos escrever raiz-4 como 2i, onde i é a unidade imaginária. Então:
r = 2 pm 2i4 = 1 pm i2
Isso nos dá duas raízes complexas: r = 12 + i2 e r = 12 - i2.

Passo 5

Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Onde alpha é a parte real da raiz e beta é a parte imaginária. No nosso caso, alpha = 12 e beta = 12. Então, substituindo:
y(t) = e^12 t ( C1 cos(12 t) + C2 sin(12 t) )

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2. Primeiramente, aplicamos y(0) = -1:
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) = C1 = -1
Então, já sabemos que C1 = -1.

Passo 7

Em seguida, precisamos calcular a derivada de y(t) para usar a condição y'(0) = 2. Vamos derivar y(t):
y'(t) = ddt [ e^12 t ( -cos(12 t) + C2 sin(12 t) ) ]
Usando a regra do produto e derivando cada parte:
y'(t) = 12 e^12 t ( -cos(12 t) + C2 sin(12 t) ) + e^12 t ( 12 sin(12 t) + C22 cos(12 t) )

Passo 8

Agora, aplicamos y'(0) = 2. Substituindo t = 0 na expressão de y'(t):
y'(0) = 12 e^0 ( -1 + 0 ) + e^0 ( 0 + C22 ) = -12 + C22 = 2
Resolvendo para C2:
-12 + C22 = 2 C22 = 2 + 12 = 52 C2 = 5

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^12 t ( -cos(12 t) + 5 sin(12 t) )

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