O conjunto de todos os valores de alpha, alpha in]-pi2, pi2[, tais que as soluções da equação (em x ) x^4-raiz[4]48 x^2+tg alpha=0 são todas reais, é:
A) [-pi3, 0]
B) [-pi4, pi4]
C) [-pi6, pi6]
D) [0, pi3]
E) [pi12, pi3]

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de alphainl(-tfracpi2,tfracpi2r) tais que todas as quatro raízes da equação
x^4-raiz[4]48,x^2+tanalpha=0
são reais.
Conteúdo: reduzimos a equação a uma quadrática em y=x^2 e exigimos que ambas as raízes em y sejam reais e não negativas, para garantir que x=pmraizy sejam reais.

Passo 2

Façamos a substituição y=x^2. Isso leva à equação
y^2-raiz[4]48,y+tanalpha=0
Para que as raízes y1,y2 sejam reais, o discriminante desta quadrática deve satisfazer
De<a = l(raiz[4]48r)^2-4,tanalpha ;>=;0
Como l(raiz[4]48r)^2=raiz48=4raiz3, temos
4raiz3 - 4,tanalpha >= 0 Longrightarrow tanalpha <= raiz3 Longrightarrow alpha <= arctan(raiz3)=tfracpi3

Passo 3

Chamando A=raiz[4]48>0 e D=raizA^2-4tanalpha, as raízes em y são
y1=A+D2, y2=A-D2,
com y1>= y2. Para que ambas gerem x reais precisamos de y2>=0, ou seja
A-D2>=0 Long<=ftrightarrow D<= A Long<=ftrightarrow raizA^2-4tanalpha<= A Long<=ftrightarrow tanalpha>=0 Long<=ftrightarrow alpha>=0

Passo 4

Combinando as duas desigualdades obtidas
0 ;<=;alpha;<=;tfracpi3,
e verificando que nos extremos alpha=0 e alpha=tfracpi3 as raízes em y são 0,A e tfracA2,tfracA2, ambas não negativas, concluímos que o parâmetro alpha deve variar em
l[0,tfracpi3r]

Resposta

D) l[0,tfracpi3r]

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