Esboce o gráfico das funções
f(x)=-5 cdot log 12 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = -5 ,log12x
O conteúdo envolve transformações de funções logarítmicas: vamos lembrar como é o gráfico de log12x e depois aplicar uma escala vertical e uma reflexão.

Passo 2

Primeiro, considere a função básica
g(x)=log12x
Ela tem domínio x>0, assíntota vertical em x=0 (pois quando xto0^+, g(x)to -infty), e intercepto em (1,0) (porque log121=0). Para grandes x, g(x) cresce, mas muito devagar, indo a +infty conforme xto+infty.

Passo 3

Agora aplique a escala vertical de fator 5. Defina
h(x)=5,g(x)=5log12x
Isto estica o gráfico de g em relação ao eixo x por um fator de 5, fazendo todos os valores de y cinco vezes maiores. A assíntota e o intercepto em x=1 permanecem os mesmos.

Passo 4

Em seguida, reflita em torno do eixo x multiplicando por -1. Assim chegamos à nossa função
f(x)=-1cdot h(x)=-5log12x
Essa reflexão faz o gráfico descer em vez de subir: agora f(x)to+infty quando xto0^+ e f(x)to-infty quando xto+infty.

Passo 5

Para orientar o esboço, calculemos alguns pontos notáveis:
x=tfrac112implies log12(tfrac112)=-1implies f(tfrac112)=-5cdot(-1)=5,
x=1implies log121=0implies f(1)=0,
x=12implies log1212=1implies f(12)=-5cdot1=-5

Passo 6

Juntando tudo:
  • Domínio: x>0.
  • Assíntota vertical: x=0.
  • Passa por l(tfrac112,5r), (1,0) e (12,-5).
  • É uma curva suave, decrescente, subindo muito quando x se aproxima de 0 e descendo sem limite conforme xto+infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=-5log12x é obtido a partir do gráfico de log12x esticado verticalmente por 5 e refletido no eixo x. Possui assíntota vertical em x=0, passa por l(tfrac112,5r), (1,0), (12,-5) e é estritamente decrescente em (0,+infty).

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