O conjunto
e
é um espaço vetorial real com as operações definidas por
e
? No caso afirmativo identifique o vetor nulo
, o oposto de cada (
) e ainda os elementos
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define duas operações:
onde
é um escalar e
.
As perguntas são:
As perguntas são:
-
com essas operações é um espaço vetorial sobre ? - Se sim, identificar o vetor nulo
. - Identificar o oposto (aditivo) de um vetor arbitrário
. - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é preciso checar (em linguagem simples): um espaço vetorial sobre
deve ser um conjunto com uma “adição” entre vetores e uma multiplicação por escalares que satisfazem certas propriedades (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento nulo e de inversos aditivos, compatibilidades entre escalares e vetores como
,
, distributividade de escalares sobre soma de vetores e sobre soma de escalares, etc.). Vou verificar essas propriedades de maneira direta e também dar uma explicação conceitual que facilita entender por que isso funciona (uma transformação logaritmo mostra que esse sistema é isomorfo a
com operações usuais).
Passo 3
Fechamento e propriedades básicas da “adição”
:
- Fechamento: se
então . Assim tem coordenadas positivas, logo . - Comutatividade:
porque a multiplicação real é comutativa. - Associatividade:
porque a multiplicação real é associativa.
Portanto a “adição”comporta-se exatamente como a multiplicação componente a componente, herdando as boas propriedades da multiplicação em .
Passo 4
Existência de elemento nulo e de inverso aditivo:
- Procuramos
tal que, para todo ,
Isso exige
para todo
, logo
. Analogamente
. Assim
- O oposto aditivo de
é o elemento tal que . Isso dá
logo
e
. Portanto o oposto de
é
Observe que
e
existem e são positivos porque
.
Passo 5
Propriedades envolvendo multiplicação por escalar
:
- Fechamento: para
e temos , logo . - Identidade escalar:
. - Compatibilidade de escalares:
e . Como , temos . - Distributividade de
sobre soma de vetores:
ou seja,
- Distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
Portanto as propriedades de compatibilidade e distributividade exigidas para espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 6
Explicação conceitual (mapa logaritmo): a aplicação
é bijetora (porque
é bijetora de
em
) e transforma as operações definidas em operações usuais:
Assim
é um isomorfismo de espaços vetoriais entre
e
. Como
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre
, segue que
com
e
também é um espaço vetorial. Esta visão pelo logaritmo explica de forma rápida e elegante por que todas as axiomas anteriores funcionam.
Passo 7
Cálculos pedidos explícitos:
- O vetor nulo (já encontrado) é
. - O oposto de
é . -
. -
.
Resposta
Sim.
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
.
O oposto de é
O oposto de