O conjunto V=\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a>0 e b>0\} é um espaço vetorial real com as operações definidas por (a, b) \oplus(c, d)=(a \cdot c, b \cdot d) e r \odot(a, b)=\left(a^{r}, b^{r}\right) ? No caso afirmativo identifique o vetor nulo \mathbf{0}, o oposto de cada ( a, b ) e ainda os elementos 0 \odot(a, b) e r \odot \mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},\\ a>0,\\ b>0\} e define duas operações:
(a,b)\oplus(c,d)=(a\cdot c,\; b\cdot d), \qquad r\odot(a,b)=(a^{r},\; b^{r}),
onde r\in\mathbb{R} é um escalar e a,b,c,d>0.
As perguntas são:
  1. V com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
  2. Se sim, identificar o vetor nulo \mathbf{0}.
  3. Identificar o oposto (aditivo) de um vetor arbitrário (a,b)\in V.
  4. Calcular 0\odot(a,b).
  5. Calcular r\odot\mathbf{0}.

Passo 2

O que é preciso checar (em linguagem simples): um espaço vetorial sobre \mathbb{R} deve ser um conjunto com uma “adição” entre vetores e uma multiplicação por escalares que satisfazem certas propriedades (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento nulo e de inversos aditivos, compatibilidades entre escalares e vetores como 1\odot v=v, (rs)\odot v=r\odot(s\odot v), distributividade de escalares sobre soma de vetores e sobre soma de escalares, etc.). Vou verificar essas propriedades de maneira direta e também dar uma explicação conceitual que facilita entender por que isso funciona (uma transformação logaritmo mostra que esse sistema é isomorfo a \mathbb{R}^2 com operações usuais).

Passo 3

Fechamento e propriedades básicas da “adição” \oplus:
  • Fechamento: se (a,b),(c,d)\in V então a,c,b,d>0. Assim (a\cdot c,\; b\cdot d) tem coordenadas positivas, logo (a,b)\oplus(c,d)\in V.
  • Comutatividade: (a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\oplus(a,b) porque a multiplicação real é comutativa.
  • Associatividade: ((a,b)\oplus(c,d))\oplus(e,f)=(ac,bd)\oplus(e,f)=((ac)e,\;(bd)f)=(a(ce),\;b(df))=(a,b)\oplus((c,d)\oplus(e,f)) porque a multiplicação real é associativa.
    Portanto a “adição” \oplus comporta-se exatamente como a multiplicação componente a componente, herdando as boas propriedades da multiplicação em \mathbb{R}_{>0}.

Passo 4

Existência de elemento nulo e de inverso aditivo:
  • Procuramos \mathbf{0}=(x,y)\in V tal que, para todo (a,b)\in V,
(a,b)\oplus(x,y)=(a\cdot x,\; b\cdot y)=(a,b).
Isso exige a\cdot x=a para todo a>0, logo x=1. Analogamente y=1. Assim
\mathbf{0}=(1,1).
  • O oposto aditivo de (a,b) é o elemento (a,b)'\in V tal que (a,b)\oplus(a,b)'=\mathbf{0}=(1,1). Isso dá
(a\cdot a',\; b\cdot b')=(1,1),
logo a'=a^{-1} e b'=b^{-1}. Portanto o oposto de (a,b) é
-(a,b)=(a^{-1},\; b^{-1}).
Observe que a^{-1} e b^{-1} existem e são positivos porque a,b>0.

Passo 5

Propriedades envolvendo multiplicação por escalar r\odot (a,b)=(a^{r},b^{r}):
  • Fechamento: para a>0 e r\in\mathbb{R} temos a^{r}>0, logo r\odot (a,b)\in V.
  • Identidade escalar: 1\odot(a,b)=(a^{1},b^{1})=(a,b).
  • Compatibilidade de escalares: (rs)\odot(a,b)=(a^{rs},b^{rs}) e r\odot(s\odot(a,b))=r\odot(a^{s},b^{s})=( (a^{s})^{r},(b^{s})^{r})=(a^{sr},b^{sr}). Como sr=rs, temos (rs)\odot(a,b)=r\odot(s\odot(a,b)).
  • Distributividade de r sobre soma de vetores:
r\odot\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=r\odot(ac,bd)=\big((ac)^{r},(bd)^{r}\big)=(a^{r}c^{r},b^{r}d^{r})=(a^{r},b^{r})\oplus(c^{r},d^{r}),
ou seja,
r\odot(u\oplus v)=r\odot u\oplus r\odot v.
  • Distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
(r+s)\odot(a,b)=(a^{r+s},b^{r+s})=(a^{r}a^{s},b^{r}b^{s})=(a^{r},b^{r})\oplus(a^{s},b^{s})=r\odot(a,b)\oplus s\odot(a,b).
Portanto as propriedades de compatibilidade e distributividade exigidas para espaço vetorial são satisfeitas.

Passo 6

Explicação conceitual (mapa logaritmo): a aplicação
\varphi: V\to\mathbb{R}^{2},\qquad \varphi(a,b)=(\ln a,\ln b),
é bijetora (porque \ln é bijetora de \mathbb{R}_{>0} em \mathbb{R}) e transforma as operações definidas em operações usuais:
\varphi\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=(\ln(ac),\ln(bd))=(\ln a+\ln c,\ln b+\ln d)=\varphi(a,b)+\varphi(c,d),
\varphi\big(r\odot(a,b)\big)=(r\ln a,\; r\ln b)=r\cdot\varphi(a,b).
Assim \varphi é um isomorfismo de espaços vetoriais entre (V,\oplus,\odot) e (\mathbb{R}^{2},+,\cdot). Como \mathbb{R}^{2} com as operações usuais é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, segue que V com \oplus e \odot também é um espaço vetorial. Esta visão pelo logaritmo explica de forma rápida e elegante por que todas as axiomas anteriores funcionam.

Passo 7

Cálculos pedidos explícitos:
  • O vetor nulo (já encontrado) é \mathbf{0}=(1,1).
  • O oposto de (a,b) é (a^{-1},b^{-1}).
  • 0\odot(a,b)=(a^{0},b^{0})=(1,1)=\mathbf{0}.
  • r\odot\mathbf{0}=r\odot(1,1)=(1^{r},1^{r})=(1,1)=\mathbf{0}.

Resposta

Sim. V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
\mathbf{0}=(1,1)
O oposto de (a,b) é (a^{-1},b^{-1})
0\odot(a,b)=(1,1)
r\odot\mathbf{0}=(1,1)

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