Exemplo: Seja V=R^3. Seja W o subconjunto de V definido por: W=(x, y, z): x=0
Então verifique se W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid x = 0
Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso, precisamos checar três propriedades: (i) W não é vazio (contém o vetor zero), (ii) é fechado sob soma vetorial e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^3, que é (0,0,0), pertence a W. Como a primeira componente é 0, fica (0,0,0)in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Agora pegamos dois vetores arbitrários em W, digamos
u = (0,y1,z1) e v = (0,y2,z2)
A soma é
u + v = (0+0,;y1+y2,;z1+z2) = (0,;y1+y2,;z1+z2)
Como a primeira componente continua igual a 0, o vetor u+v também está em W. Portanto, W é fechado sob soma.

Passo 4

Por fim, tomamos um escalar arbitrário lambdainR e um vetor u=(0,y,z)in W. O produto escalar é
lambda,u = (lambdacdot 0,;lambda y,;lambda z) = (0,;lambda y,;lambda z)
De novo, a primeira componente é 0, logo lambda uin W. Assim, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W satisfaz todas as condições de subespaço de R^3 e, portanto, é um subespaço de V.

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