EXEMPLO: Verifique se o conjunto R^2 é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:
Soma: (x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(x 1+x 2, y 1+y 2)
Multiplicação por escalar: r(x, y)=(x, r y)
A3) u+0=u :
Seja os vetores u=(u 1, u 2) in R^2, e vetor nulo 0=(0,0) in R^2, logo temos:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto R^2, com a soma definida por
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar definida por
r,(x,y)=(x,;r,y),
é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial (aditivos e multiplicativos) e ver se todos são satisfeitos ou se algum falha.

Passo 2

Verificamos o axioma A3 (identidade aditiva): existe 0inR^2 tal que u+0=u para todo u.
Seja u=(u1,u2) e 0=(0,0). Então
u+0=(u1+0,;u2+0)=(u1,u2)=u,
logo o axioma A3 vale.

Passo 3

Agora checamos o axioma M4 (distributividade em relação à soma de escalares):
(r+s),u stackrel?= r,u + s,u
Para u=(x,y) temos
(r+s),(x,y)=(x,;(r+s),y),
enquanto
r,(x,y)=(x,;r,y), s,(x,y)=(x,;s,y)
e portanto
r,u + s,u = (x,;r,y)+(x,;s,y) = (x+x,;r,y + s,y) = (2x,;(r+s),y)
Como (x,(r+s)y)neq(2x,(r+s)y) para vetores genéricos, a distributividade falha.

Passo 4

Dado que o axioma M4 não é satisfeito, concluímos que não se trata de um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto R^2 com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois falha a propriedade (r+s)u = r,u + s,u.

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