EXEMPLO: Verifique se o conjunto
é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:
Soma:
Multiplicação por escalar:
A3)
:
Seja os vetores
, e vetor nulo
, logo temos:
Soma:
Multiplicação por escalar:
A3)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com a soma definida por
e a multiplicação por escalar definida por
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial (aditivos e multiplicativos) e ver se todos são satisfeitos ou se algum falha.
Passo 2
Verificamos o axioma A3 (identidade aditiva): existe
tal que
para todo
.
Seja e
. Então
Seja
logo o axioma A3 vale.
Passo 3
Agora checamos o axioma M4 (distributividade em relação à soma de escalares):
Para
temos
enquanto
e portanto
Como
para vetores genéricos, a distributividade falha.
Passo 4
Dado que o axioma M4 não é satisfeito, concluímos que não se trata de um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois falha a propriedade
.