Construa uma familia de vetores ortogonais u1, u2, u3 subset R^3, a partir das seguintes coleções de vetores
(1,1,1),(4,4,-1),(-2,2,0)

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1 = (1,1,1), v2 = (4,4,-1), v3 = (-2,2,0)
e pede uma família ortogonal u1,u2,u3.
Para isso usamos o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores ortogonais subtraindo-se projeções sucessivas.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor da família como
u1 = v1 = (1,1,1)

Passo 3

Agora calculamos
u2 = v2 - proju1(v2),
onde
proju1(v2) = v2cdot u1u1cdot u1,u1
Temos
v2cdot u1 = 4+4+(-1)=7, u1cdot u1 = 1+1+1=3,
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proju1(v2) = 73,(1,1,1)
Portanto
u2 = (4,4,-1) - 73(1,1,1) = l(tfrac53,,tfrac53,,-tfrac103r)

Passo 4

Por fim,
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Calculamos
v3cdot u1 = -2+2+0=0, v3cdot u2 = -2cdottfrac53+2cdottfrac53+0cdotl(-tfrac103r)=0,
o que faz ambas projeções nulas. Logo
u3 = v3 = (-2,2,0)

Resposta

Uma família de vetores ortogonais é
l,(1,1,1),;l(tfrac53,tfrac53,-tfrac103r),;(-2,2,0)r
Se preferir evitar frações, basta multiplicar u2 por 3 e usar
l,(1,1,1),;(5,5,-10),;(-2,2,0)r,
que continua sendo uma família ortogonal.

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