Construa uma familia de vetores ortogonais u1, u2, u3 subset R^3, a partir das seguintes coleções de vetores
(1, 12, 0),(12, 1,0),(12, 12, 1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1 = l(1,tfrac12,0r), v2 = l(tfrac12,1,0r), v3 = l(tfrac12,tfrac12,1r)
e pede uma família ortogonal u1,u2,u3subsetR^3. O método é o processo de Gram–Schmidt, usando o produto escalar canônico em R^3 e a fórmula de projeção
proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u

Passo 2

Definimos
u1=v1=l(1,tfrac12,0r)

Passo 3

Calculamos
lang<= v2,u1rang<= =(tfrac12)cdot1+1cdottfrac12+0cdot0=1, lang<= u1,u1rang<==1^2+(tfrac12)^2+0^2=tfrac54,
logo
proju1(v2) =15/4,u1 =45,(1,tfrac12,0) =(tfrac45,tfrac25,0)
Então
u2=v2-proju1(v2) =l(tfrac12,1,0r)-l(tfrac45,tfrac25,0r) =l(-tfrac310,tfrac35,0r)

Passo 4

Primeiro projetamos v3 sobre u1:
lang<= v3,u1rang<= =(tfrac12)cdot1+(tfrac12)cdottfrac12+1cdot0=tfrac34, proju1(v3) =3/45/4,u1 =tfrac35(1,tfrac12,0) =(tfrac35,tfrac310,0)
Definimos w=v3-proju1(v3)=( -tfrac110,tfrac15,1).
Em seguida
lang<= w,u2rang<= =(-tfrac110)(-tfrac310)+(tfrac15)(tfrac35)+1cdot0 =tfrac320, lang<= u2,u2rang<= =l(-tfrac310r)^2+l(tfrac35r)^2 =tfrac920,
logo
proju2(w) =3/209/20,u2 =tfrac13,u2 =l(-tfrac110,tfrac210,0r)
Assim
u3 =v3-proju1(v3)-proju2(w) =(0,0,1)

Resposta

u1=l(1,tfrac12,0r), u2=l(-tfrac310,tfrac35,0r), u3=(0,0,1)

Exercícios relacionados