Do conjunto de vetores formado pelas colunas (ou linhas) da matriz de rigidez de elemento de pórtico plano, dada por
\mathbf{K}^{(e)}=\left[\begin{array}{cccccc}a & 0 & 0 & -a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & c & 0 & -b & c \\\\ 0 & c & d & 0 & -c & d / 2 \\\\ -a & 0 & 0 & a & 0 & 0 \\\\ 0 & -b & -c & 0 & b & -c \\\\ 0 & c & d / 2 & 0 & -c & d\end{array}\right], \operatorname{com} \quad a=\frac{E A}{l}, \quad b=\frac{12 E I}{l^{3}}, c=\frac{6 E I}{l^{2}}, d=\frac{4 E I}{l},
pergunta-se quantos são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede: “Do conjunto de vetores formado pelas colunas (ou linhas) da matriz \mathbf{K}^{(e)} dada, quantos são linearmente independentes?”
As informações relevantes que o enunciado fornece são a matriz 6\times6
\mathbf{K}^{(e)}=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & -a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & c & 0 & -b & c \\\\ 0 & c & d & 0 & -c & d/2 \\\\ -a & 0 & 0 & a & 0 & 0 \\\\ 0 & -b & -c & 0 & b & -c \\\\ 0 & c & d/2 & 0 & -c & d \end{pmatrix},
com \;a=\dfrac{E A}{l},\; b=\dfrac{12 E I}{l^{3}},\; c=\dfrac{6 E I}{l^{2}},\; d=\dfrac{4 E I}{l}.
Queremos determinar o número de colunas (ou linhas) linearmente independentes dessa matriz.

Passo 2

Vamos denotar as colunas por \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\dots,\mathbf{c}_6. Extraindo cada coluna da matriz, temos (cada coluna escrita como vetor coluna):
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}a\\\ 0\\\ 0\\\ -a\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}0\b\c\\\ 0\\\ -b\c\end{pmatrix},\; \mathbf{c}_3=\begin{pmatrix}0\c\d\\\ 0\\\ -c\d/2\end{pmatrix},
\mathbf{c}_4=\begin{pmatrix}-a\\\ 0\\\ 0\a\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \mathbf{c}_5=\begin{pmatrix}0\\\ -b\\\ -c\\\ 0\b\\\ -c\end{pmatrix},\; \mathbf{c}_6=\begin{pmatrix}0\c\d/2\\\ 0\\\ -c\d\end{pmatrix}.

Passo 3

Observe relações imediatas entre colunas: comparando \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_4 e entre \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_5,
\mathbf{c}_4 = -\mathbf{c}_1,\qquad \mathbf{c}_5 = -\mathbf{c}_2.
Portanto \mathbf{c}_4 e \mathbf{c}_5 não trazem novas direções: são dependentes de \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2, respectivamente.

Passo 4

Fica verificar se \mathbf{c}_6\) é independente de \(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3\) ou se pode ser escrito como combinação linear de \(\mathbf{c}_2\) e \(\mathbf{c}_3\) (note que \(\mathbf{c}_1\) tem suporte apenas nas componentes 1 e 4, enquanto \(\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3,\mathbf{c}_6\) têm suporte nas componentes 2,3,5,6; assim \(\mathbf{c}_1\) é claramente independente das outras). Procuro \(\alpha,\beta\) tais que \[\mathbf{c}_6=\alpha\mathbf{c}_2+\beta\mathbf{c}_3.
Escrevendo as componentes relevantes (linhas 2,3,5,6) obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha b + \beta c = c,\\[4pt] \alpha c + \beta d = d/2,\\[4pt] -\alpha b - \beta c = -c,\\[4pt] \alpha c + \beta (d/2) = d. \end{cases}
As duas equações da linha 2 e 5 são redundantes (são opostas) e as da linha 3 e 6 nos dão as equações independentes. Das equações das linhas 3 e 6 tomamos
\alpha c + \beta d = \tfrac{d}{2},\qquad \alpha c + \beta \tfrac{d}{2} = d.
Subtraindo a primeira da segunda:
\beta\Big(\tfrac{d}{2}-d\Big)=d-\tfrac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad \beta\Big(-\tfrac{d}{2}\Big)=\tfrac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad \beta=-1.
Substituindo \beta=-1\] em \(\alpha c + \beta d = d/2 obtemos
\alpha c - d = \tfrac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha c = \tfrac{3d}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{3d}{2c}.
Agora usamos os valores de c e d:
\dfrac{d}{c}=\dfrac{\dfrac{4EI}{l}}{\dfrac{6EI}{l^2}}=\dfrac{4}{l}\cdot\dfrac{l^2}{6}=\dfrac{2l}{3}.
Logo
\alpha=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2l}{3}=l.
Verificamos também a equação da linha 2: \alpha b + \beta c = l b - c. Como b=\dfrac{12EI}{l^3} e c=\dfrac{6EI}{l^2}, temos l b = \dfrac{12EI}{l^2}=2c, então l b - c = 2c - c = c, que coincide com o lado direito. Portanto a solução \alpha=l,\;\beta=-1 é consistente e
\mathbf{c}_6 = l\,\mathbf{c}_2 - \mathbf{c}_3.
Assim \mathbf{c}_6 é combinação linear de \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3, logo dependente.]

Passo 5

Agora resumimos dependências encontradas:
\mathbf{c}_4=-\mathbf{c}_1,\qquad \mathbf{c}_5=-\mathbf{c}_2,\qquad \mathbf{c}_6 = l\,\mathbf{c}_2 - \mathbf{c}_3.
Sobram potencialmente independentes \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3. Mostramos que estas três são realmente linearmente independentes:
  • \mathbf{c}_1 é não-nulo somente nas componentes 1 e 4, enquanto \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3 são nulos nessas componentes; portanto \mathbf{c}_1 não pode ser combinação linear de \mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3.
  • Para \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3, considere a combinação \mu\mathbf{c}_2+\nu\mathbf{c}_3=\mathbf{0}. Olhando apenas para as linhas 2 e 3 obtemos o sistema
\begin{pmatrix}b & c\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mu\\[4pt]\nu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é b d - c^{2}. Calculando com os valores dados:
b d - c^{2}=\dfrac{12EI}{l^{3}}\cdot\dfrac{4EI}{l}-\Big(\dfrac{6EI}{l^{2}}\Big)^{2}=\dfrac{48E^{2}I^{2}}{l^{4}}-\dfrac{36E^{2}I^{2}}{l^{4}}=\dfrac{12E^{2}I^{2}}{l^{4}}\neq 0.
Como o determinante é não nulo, a única solução é \mu=\nu=0. Logo \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3 são independentes entre si. Assim \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3 são três vetores linearmente independentes.]

Passo 6

Concluímos que exatamente três colunas são linearmente independentes (as outras três são combinações lineares dessas). Como a matriz é simétrica, o número de linhas independententes é o mesmo; portanto a classificação (posto) da matriz é 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados