(a) Encontre uma base
para o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base
do plano
em
. O conteúdo aqui é subespaços lineares, dimensão e conceito de base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o subespaço).
Passo 2
Note que o conjunto
é um subespaço de
(passa pela origem e é fechado em soma e multiplicação escalar). Como é dado por uma única equação linear independente, a dimensão de
é
Passo 3
Para parametrizar
, escolhemos duas variáveis livres, por exemplo
e
, e escrevemos
Logo um vetor genérico de
é
Passo 4
Os vetores
são claramente geradores de
, pois qualquer
escreve-se como combinação linear de
e
.
Passo 5
Basta verificar que
e
são linearmente independentes. Se
então do primeiro componente
, do segundo
. Logo são independentes e formam uma base de
.