(a) Encontre uma base B para o plano x+y+z=0 em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base B do plano
x + y + z = 0
em R^3. O conteúdo aqui é subespaços lineares, dimensão e conceito de base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o subespaço).

Passo 2

Note que o conjunto
V = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z=0
é um subespaço de R^3 (passa pela origem e é fechado em soma e multiplicação escalar). Como é dado por uma única equação linear independente, a dimensão de V é
dim V = 3 - 1 = 2

Passo 3

Para parametrizar V, escolhemos duas variáveis livres, por exemplo x e y, e escrevemos
z = -,x - y
Logo um vetor genérico de V é
(x,y,z) = l(x,;y,;-x - yr) = x,(1,0,-1) ;+; y,(0,1,-1)

Passo 4

Os vetores
v1 = (1,0,-1), v2 = (0,1,-1)
são claramente geradores de V, pois qualquer (x,y,z)in V escreve-se como combinação linear de v1 e v2.

Passo 5

Basta verificar que v1 e v2 são linearmente independentes. Se
alpha,(1,0,-1) + beta,(0,1,-1) = (0,0,0),
então do primeiro componente alpha=0, do segundo beta=0. Logo são independentes e formam uma base de V.

Resposta

B = l, (1,0,-1),; (0,1,-1)r

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