Considere
como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real
de
em
. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
em
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear e uma propriedade de polinômios para resolver.
Passo 2
Lembrando que
e
são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares
e
tais que
como função em
, então obrigatoriamente
e
.
Passo 3
Suponha que
Isso significa que o polinômio
anula-se para todos os
de um intervalo, ou seja, tem infinitas raízes.
Passo 4
Mas um polinômio não nulo de grau
só pode ter no máximo duas raízes. Logo, para
ter infinitas raízes, ele deve ser o polinômio identicamente zero. Isso obriga
e assim não há combinação não-trivial que anule
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em
.