Considere V[a, b] como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real t de [a, b] em R. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
t, t^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções t e t^2 em V[a,b] são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear e uma propriedade de polinômios para resolver.

Passo 2

Lembrando que t e t^2 são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares c1 e c2 tais que
c1,t + c2,t^2 = 0
como função em [a,b], então obrigatoriamente c1=0 e c2=0.

Passo 3

Suponha que
c1,t + c2,t^2 = 0 forall,tin[a,b]
Isso significa que o polinômio
p(t)=c2,t^2 + c1,t
anula-se para todos os t de um intervalo, ou seja, tem infinitas raízes.

Passo 4

Mas um polinômio não nulo de grau <=2 só pode ter no máximo duas raízes. Logo, para p(t) ter infinitas raízes, ele deve ser o polinômio identicamente zero. Isso obriga
c2 = 0 e c1 = 0
e assim não há combinação não-trivial que anule c1,t+c2,t^2.

Resposta

As funções t e t^2 são linearmente independentes em V[a,b].

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