(Conjunto de Vitali) Suponha uma medida mu não nula, sigma aditiva e invariante por translações nos reais. Prove detalhadamente que existe um subconjunto do intervalo [0,1] que não é mu mensurável.

Passo 1

Nesse exercício, temos uma medida mu não nula, sigma aditiva e invariante por translações em R. O objetivo é provar que existe um subconjunto de [0,1] que não é mu-mensurável. Vamos usar o axioma da escolha para escolher representantes de classes de equivalência módulo Q e, usando invariância e sigma-aditividade, mostrar uma contradição caso esse conjunto fosse mensurável. Além disso, como mu não é nula, existe um conjunto de medida finita e positiva, o que implica que mu([0,1]) e mu([0,1])>0.

Passo 2

Definimos uma relação de equivalência em R por
[0,1]
Essa relação particiona em classes disjuntas.

Passo 3

Aplicando o axioma da escolha, selecionamos um representante de cada classe de equivalência dentro de [0,1]. Denotamos esse conjunto de representantes por V. Esse é o clássico conjunto de Vitali.

Passo 4

Para cada racional qinQcap[-1,1], definimos
V+q = v + q : v in V
Os conjuntos V+q são disjuntos dois a dois e satisfazem:
cupqinQcap[-1,1] (V+q) supset [0,1] e cupqinQcap[-1,1] (V+q) subset [-1,2]

Passo 5

Suponha, por absurdo, que V seja mu-mensurável. Como mu é invariante, para todo q temos mu(V+q)=mu(V). Pela sigma-aditividade:
mul(cupqinQcap[-1,1] (V+q)r) = sumqinQcap[-1,1] mu(V+q) = sumqinQcap[-1,1] mu(V)
Por outro lado, como a união contém [0,1] temos
mu([0,1])<= mu(cup(V+q)) e como está contida em [-1,2] temos mu(cup(V+q))<=mu([-1,2]).

Passo 6

Analisando dois casos: se mu(V)=0, a soma acima é zero, o que daria mu([0,1])=0, contradizendo mu([0,1])>0. Se mu(V)>0, então a soma é infinita, mas está limitada por mu([-1,2]), outra contradição. Portanto, V não pode ser mu-mensurável.

Resposta

O conjunto de Vitali V construído não é mu-mensurável.

Exercícios relacionados