(Conjunto de Vitali) Suponha uma medida
não nula, sigma aditiva e invariante por translações nos reais. Prove detalhadamente que existe um subconjunto do intervalo
que não é
mensurável.
Passo 1
Nesse exercício, temos uma medida
não nula, sigma aditiva e invariante por translações em
. O objetivo é provar que existe um subconjunto de
que não é
-mensurável. Vamos usar o axioma da escolha para escolher representantes de classes de equivalência módulo
e, usando invariância e sigma-aditividade, mostrar uma contradição caso esse conjunto fosse mensurável. Além disso, como
não é nula, existe um conjunto de medida finita e positiva, o que implica que
e
.
Passo 2
Definimos uma relação de equivalência em
por
Essa relação particiona em classes disjuntas.
Essa relação particiona
Passo 3
Aplicando o axioma da escolha, selecionamos um representante de cada classe de equivalência dentro de
. Denotamos esse conjunto de representantes por
. Esse é o clássico conjunto de Vitali.
Passo 4
Para cada racional
, definimos
Os conjuntos
são disjuntos dois a dois e satisfazem:
Passo 5
Suponha, por absurdo, que
seja
-mensurável. Como
é invariante, para todo
temos
. Pela sigma-aditividade:
Por outro lado, como a união contém
temos
e como está contida em
temos
.
Passo 6
Analisando dois casos: se
, a soma acima é zero, o que daria
, contradizendo
. Se
, então a soma é infinita, mas está limitada por
, outra contradição. Portanto,
não pode ser
-mensurável.
Resposta
O conjunto de Vitali
construído não é
-mensurável.