Prove que
Se
, então
converge, e
Se
Passo 1
Vamos começar lembrando o que a questão pede: temos uma sequência de conjuntos
tal que
para todo
. Precisamos provar que essa sequência converge (no sentido de limite de sequência de conjuntos) e que seu limite é exatamente
.
Passo 2
Antes de entrar no cálculo, vamos relembrar as definições de “
” e “
” de uma sequência de conjuntos
:
E dizemos que
converge se
, e esse valor comum é o limite.
Passo 3
Como
é crescente, para cada
temos
Mas como
, essa união é a mesma união de todos os conjuntos desde o começo. Logo
Isso implica
Passo 4
De forma análoga, como
, para cada
vale
Então
Passo 5
Vemos que
. Portanto a sequência
converge, e seu limite é
.