Prove que
Se An nearrow, então An converge, e
lim An=cupn=1^infty An=A

Passo 1

Vamos começar lembrando o que a questão pede: temos uma sequência de conjuntos An tal que Ansubset An+1 para todo n. Precisamos provar que essa sequência converge (no sentido de limite de sequência de conjuntos) e que seu limite é exatamente cupn=1^inftyAn.

Passo 2

Antes de entrar no cálculo, vamos relembrar as definições de “ limsup” e “ liminf” de uma sequência de conjuntos (An):
limsupntoinftyAn=capk=1^inftycupn=k^inftyAn
liminfntoinftyAn=cupk=1^inftycapn=k^inftyAn
E dizemos que An converge se limsup An=liminf An, e esse valor comum é o limite.

Passo 3

Como An é crescente, para cada k temos
cupn=k^inftyAn=Akcup Ak+1cupdots
Mas como Aksubset Ak+1subsetdots, essa união é a mesma união de todos os conjuntos desde o começo. Logo
cupn=k^inftyAn=cupn=1^inftyAnpara todo k
Isso implica
limsupntoinftyAn=capk=1^inftycupn=k^inftyAn=capk=1^inftycupn=1^inftyAn=cupn=1^inftyAn

Passo 4

De forma análoga, como Ansubset An+1, para cada k vale
capn=k^inftyAn=Akcap Ak+1capdots=Ak
Então
liminfntoinftyAn=cupk=1^inftycapn=k^inftyAn=cupk=1^inftyAk=cupn=1^inftyAn

Passo 5

Vemos que limsup An=liminf An=cupn=1^inftyAn. Portanto a sequência An converge, e seu limite é cupn=1^inftyAn.

Resposta

limntoinftyAn=cupn=1^inftyAn

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