Prove que
Se An searrow, então An converge, e
lim An=capn=1^infty An=B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma sequência decrescente de conjuntos An converge e que seu limite é B=capn=1^infty An. O conteúdo envolve definirmos convergência de sequências de conjuntos via limsup e liminf.

Passo 2

Definimos
limsupntoinftyAn=capn=1^inftycupk=n^infty Ak
e
liminfntoinftyAn=cupn=1^inftycapk=n^infty Ak
Convergência significa
limsupntoinftyAn=liminfntoinftyAn

Passo 3

Como An é decrescente, temos para todo k>= n que Aksubseteq An. Logo
cupk=n^infty Ak=An
e portanto
limsupntoinftyAn=capn=1^inftycupk=n^infty Ak=capn=1^infty An

Passo 4

Pela mesma razão, para k>= n ter Aksubseteq An implica
capk=n^infty Ak=Ainfty:=capn=1^infty An
para todo n. Então
liminfntoinftyAn=cupn=1^inftycapk=n^infty Ak=cupn=1^infty B=B,
onde definimos B=capn=1^infty An

Passo 5

Como limsupntoinftyAn=liminfntoinftyAn=B, concluímos que An converge para B.

Resposta

A sequência An converge e
limntoinftyAn=capn=1^infty An=B

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