O conjunto Z2=0,1, do exercício anterior, é ordenado? Justifique.

Passo 1

Estamos lidando com o conjunto Z2=0,1 e queremos saber se ele pode ser equipado com uma ordem total compatível com as operações de campo (isto é, se é um campo ordenado). Vamos usar a definição de campo ordenado e testar a possibilidade em Z2.

Passo 2

Em um campo ordenado, a relação de ordem < deve obedecer a duas propriedades principais: se a então a+c para todo c, e se 0 e 0 então 0. Além disso, usa-se a característica do corpo: um campo ordenado não pode ter característica finita distinta de zero.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista uma ordem em Z2. Como as únicas possibilidades de comparação são entre 0 e 1, ou temos 0<1 ou 1<0. Vamos assumir 0<1 (o outro caso é análogo): pela compatibilidade com a soma, somando 1 aos dois lados obtemos 1<0, uma contradição com 0<1.

Passo 4

Logo, não é possível definir uma ordem que respeite as propriedades de campo ordenado em Z2. A tentativa sempre leva a uma contradição devido ao fato de 1+1=0 em característica 2.

Resposta

Z2 não pode ser ordenado como campo; não existe ordem total compatível com as operações em característica 2.

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