O conjunto
, do exercício anterior, é ordenado? Justifique.
Passo 1
Estamos lidando com o conjunto
e queremos saber se ele pode ser equipado com uma ordem total compatível com as operações de campo (isto é, se é um campo ordenado). Vamos usar a definição de campo ordenado e testar a possibilidade em
.
Passo 2
Em um campo ordenado, a relação de ordem
deve obedecer a duas propriedades principais: se
então
para todo
, e se
e
então
. Além disso, usa-se a característica do corpo: um campo ordenado não pode ter característica finita distinta de zero.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista uma ordem em
. Como as únicas possibilidades de comparação são entre
e
, ou temos
ou
. Vamos assumir
(o outro caso é análogo): pela compatibilidade com a soma, somando
aos dois lados obtemos
, uma contradição com
.
Passo 4
Logo, não é possível definir uma ordem que respeite as propriedades de campo ordenado em
. A tentativa sempre leva a uma contradição devido ao fato de
em característica 2.