Qual dos conjuntos abaixo é Linearmente Independente? a) (1,-2,5),(0,0,0),(3,5,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = (1,-2,5),;(0,0,0),;(3,5,-1)
é linearmente independente em R^3. O conteúdo aqui é o teste de independência linear de vetores.

Passo 2

Lembrando a propriedade fundamental: qualquer conjunto de vetores que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente. Isso ocorre porque podemos escrever a combinação não trivial
0cdot v1 + 1cdot(0,0,0) + 0cdot v3 = (0,0,0),
onde nem todos os coeficientes são zero.

Passo 3

No nosso caso, basta notar que (0,0,0)in A. Tomando coeficientes c1=0, c2=1, c3=0 na combinação
c1,(1,-2,5)+c2,(0,0,0)+c3,(3,5,-1)=(0,0,0),
vemos que há uma combinação não trivial que gera o vetor zero.

Passo 4

Como existe essa combinação não trivial, o conjunto A é linearmente dependente e, portanto, não é linearmente independente.

Resposta

O conjunto da letra (a) não é linearmente independente.

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