Qual dos Subconjuntos do Espaço Vetorial V=R^3 Não é um Subespaço de V=R^3 ? E) S=(x, y, z) in R^3 / x-y+5 z-2=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid x - y + 5z - 2 = 0,
e queremos saber se S é subespaço de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. 0in W
  2. se u,vin W então u+vin W
  3. se uin W e lambdainR então lambda uin W

Passo 3

Verificamos a condição 1), ou seja, se o vetor nulo (0,0,0) pertence a S. Substituindo na equação de S:
0 - 0 + 5cdot0 - 2 = -2 neq 0
Logo (0,0,0)notin S.

Passo 4

Como todo subespaço deve conter o vetor zero, e S não o contém, concluímos imediatamente que S não é subespaço de R^3.

Resposta

S não é subespaço de R^3, pois não contém o vetor nulo.

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