O polinômio p(t)=16 t^2+15 t+2 escrito como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2+2 t-3, p2(t)=2 t^2+3 t+8 e p3(t)=-3 t^2+t+5, é equivalente a: c) 4 p1+3 p2-2 p3

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=16t^2+15t+2
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2+2t-3, p2(t)=2t^2+3t+8, p3(t)=-3t^2+t+5
O conteúdo exigido é decompor p(t) em escalares a,b,c tais que
p(t)=a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t),
igualando coeficientes de t^2, t e termo constante.

Passo 2

Escrevemos
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t) =al(t^2+2t-3r)+bl(2t^2+3t+8r)+cl(-3t^2+t+5r)
Expandindo e juntando termos semelhantes obtemos
l(a+2b-3cr)t^2+l(2a+3b+cr)t+l(-3a+8b+5cr)

Passo 3

Igualamos coeficientes de p(t) aos coeficientes acima, gerando o sistema
a + 2b - 3c = 16, 2a + 3b + c = 15, -3a + 8b + 5c = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema começamos isolando a na primeira equação:
a = 16 - 2b + 3c
Substituindo em 2a+3b+c=15
2(16 - 2b + 3c) + 3b + c = 15 ;Longrightarrow;-b+7c = -17 ;Longrightarrow;b = 7c+17
Então
a = 16 - 2(7c+17) + 3c = -18 - 11c
Por fim, inserimos a e b na terceira equação:
-3(-18-11c) + 8(7c+17) + 5c = 2 ;Longrightarrow;94c = -188 ;Longrightarrow;c = -2
Com c=-2 segue
b = 7(-2)+17 = 3, a = -18 -11(-2) = 4

Resposta

p(t) = 4,p1(t) + 3,p2(t) - 2,p3(t)

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