Qual dos conjuntos abaixo é Linearmente Independente? e) (3,2,7),(1,5,1),(9,19,17)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(3,2,7),(1,5,1),(9,19,17)subsetR^3
é linearmente independente. Vamos usar o conceito de independência linear: o conjunto é independente se, na equação
alpha(3,2,7)+beta(1,5,1)+gamma(9,19,17)=(0,0,0),
a única solução for alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula em coordenadas, obtemos o sistema
3alpha + beta + 9gamma = 0, 2alpha + 5beta +19gamma = 0, 7alpha + beta +17gamma = 0

Passo 3

Para mostrar dependência, basta encontrar alpha,beta,gamma não todos nulos que satisfaçam o sistema. Observamos que
(9,19,17) ;=;2,(3,2,7);+;3,(1,5,1)
Isso equivale a
(9,19,17)-2,(3,2,7)-3,(1,5,1)=(0,0,0),
ou seja podemos tomar alpha=-2, beta=-3 e gamma=1, que não são todos zero.

Passo 4

Como existe solução não trivial (alpha,beta,gamma)=(-2,-3,1), o conjunto é linearmente dependente, logo não é independente.

Resposta

O conjunto (3,2,7),(1,5,1),(9,19,17) é linearmente dependente, ou seja, não é independente.

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