O polinômio p(t)=16 t^2+15 t+2 escrito como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2+2 t-3, p2(t)=2 t^2+3 t+8 e p3(t)=-3 t^2+t+5, é equivalente a: b) 3 p1-4 p2-10 p3

Passo 1

O enunciado pede escrever o polinômio
p(t)=16,t^2+15,t+2
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2+2,t-3, p2(t)=2,t^2+3,t+8, p3(t)=-3,t^2+t+5
Iremos buscar coeficientes alpha,beta,gamma tais que
alpha,p1(t)+beta,p2(t)+gamma,p3(t)=p(t)

Passo 2

Escrevendo a soma e igualando coeficientes de t^2, t e termo constante, temos
alpha,(t^2+2t-3)+beta,(2t^2+3t+8)+gamma,(-3t^2+t+5) =16t^2+15t+2
Isto gera o sistema
alpha +2beta -3gamma =16, 2alpha+3beta+gamma =15, -3alpha+8beta+5gamma =2

Passo 3

Da primeira equação isolamos
alpha =16 -2beta +3gamma
Substituímos esse valor de alpha nas duas últimas equações para obter um sistema em beta e gamma.

Passo 4

Após substituir em
2alpha+3beta+gamma=15 e -3alpha+8beta+5gamma=2
chegamos ao sistema
-beta +7gamma = -17, 7beta -2gamma = 25
Resolvendo, obtemos
gamma = -2, beta = 3

Passo 5

Finalmente, voltando em alpha =16 -2beta +3gamma, temos
alpha =16 -2cdot3 +3cdot(-2)=4

Resposta

p(t)=4,p1(t)+3,p2(t)-2,p3(t)

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