Considere as seguintes afirmações: I. O conjunto
munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um subespaço vetorial de
. II. O conjunto
, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um Subespaço vetorial do Espaço vetorial
. III. O conjunto
, munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar, é um Subespaço vetorial do Espaço Vetorial
.
Passo 1
O enunciado apresenta três subconjuntos
de espaços vetoriais
e pede para determinar quais deles são subespaços vetoriais.
Conteúdo: caracterização de subespaço vetorial.
Critérios: um subconjunto é subespaço se e só se
Conteúdo: caracterização de subespaço vetorial.
Critérios: um subconjunto
-
(contém o vetor zero), - para quaisquer
tem (fechado sob adição), - para qualquer
e tem (fechado sob multiplicação escalar).
Passo 2
Analisando I:
— Contém o zero de
pois o único elemento é
.
— Soma de dois vetores em dá
.
— Escalar vezes o vetor em dá
.
Logo I satisfaz todos os critérios e é subespaço (é o subespaço trivial).
— Soma de dois vetores em
— Escalar vezes o vetor em
Logo I satisfaz todos os critérios e é subespaço (é o subespaço trivial).
Passo 3
Analisando II:
— O zero
satisfaz
, então
.
— Se e
estão em
, então
— Se
Logo para
vale
então
.
— Para e
vale
— Para
logo
.
Portanto II é subespaço.
Portanto II é subespaço.
Passo 4
Analisando III:
Verificamos primeiro a presença do zero:
logo
.
Como não contém o vetor zero, não pode ser subespaço (falta o critério 1).
Como não contém o vetor zero,
Resposta
As afirmações verdadeiras são I e II; a afirmação III é falsa.