Considere as seguintes afirmações: I. O conjunto S=(0,0,0,0) munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um subespaço vetorial de V=R^4. II. O conjunto S=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-3 z=0, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um Subespaço vetorial do Espaço vetorial V=R^3. III. O conjunto S=(x, y, z, t) in R^4 ; x+2 y-3 z+t+6=0, munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar, é um Subespaço vetorial do Espaço Vetorial V=R^4.

Passo 1

O enunciado apresenta três subconjuntos S de espaços vetoriais V e pede para determinar quais deles são subespaços vetoriais.
Conteúdo: caracterização de subespaço vetorial.
Critérios: um subconjunto Ssubseteq V é subespaço se e só se
  1. 0in S (contém o vetor zero),
  2. para quaisquer u,vin S tem u+vin S (fechado sob adição),
  3. para qualquer alphainR e uin S tem alpha uin S (fechado sob multiplicação escalar).

Passo 2

Analisando I:
S=(0,0,0,0)subseteqR^4
— Contém o zero de R^4 pois o único elemento é (0,0,0,0).
— Soma de dois vetores em S (0,0,0,0)+(0,0,0,0)=(0,0,0,0)in S.
— Escalar vezes o vetor em S alpha,(0,0,0,0)=(0,0,0,0)in S.
Logo I satisfaz todos os critérios e é subespaço (é o subespaço trivial).

Passo 3

Analisando II:
S=(x,y,z)inR^3 mid x+2y-3z=0
— O zero (0,0,0) satisfaz 0+2cdot0-3cdot0=0, então 0in S.
— Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em S, então
(x1+2y1-3z1)=0, (x2+2y2-3z2)=0
Logo para u+v vale
(x1+x2)+2(y1+y2)-3(z1+z2) =(x1+2y1-3z1)+(x2+2y2-3z2)=0,
então u+vin S.
— Para alphainR e uin S vale
alpha x1+2(alpha y1)-3(alpha z1) =alpha,(x1+2y1-3z1)=alphacdot0=0,
logo alpha uin S.
Portanto II é subespaço.

Passo 4

Analisando III:
S=(x,y,z,t)inR^4 mid x+2y-3z+t+6=0
Verificamos primeiro a presença do zero:
0+2cdot0-3cdot0+0+6=6neq0,
logo (0,0,0,0)notin S.
Como não contém o vetor zero, S não pode ser subespaço (falta o critério 1).

Resposta

As afirmações verdadeiras são I e II; a afirmação III é falsa.

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