O polinômio p(t)=16 t^2+15 t+2 escrito como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2+2 t-3, p2(t)=2 t^2+3 t+8 e p3(t)=-3 t^2+t+5, é equivalente a: d) 3 p1+5 p2-12 p3

Passo 1

A questão pede para escrever
p(t)=16,t^2+15,t+2
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2+2,t-3, p2(t)=2,t^2+3,t+8, p3(t)=-3,t^2+t+5
Ou seja, encontrar constantes a,b,c tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=p(t)

Passo 2

Escrevendo a combinação e coletando termos em t^2, t e termo constante, temos
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t) =(a+2b-3c),t^2+(2a+3b+c),t+(-3a+8b+5c)
Para que isso seja igual a 16,t^2+15,t+2, impomos o sistema
a+2b-3c=16, 2a+3b+c=15, -3a+8b+5c=2

Passo 3

Resolvendo por eliminação: da primeira equação
a=16-2b+3c
substituímos nas outras duas:
– na segunda:
2(16-2b+3c)+3b+c=15 ;Rightarrow;-b+7c=-17 ;Rightarrow;b-7c=17,
– na terceira:
-3(16-2b+3c)+8b+5c=2 ;Rightarrow;14b-4c=50 ;Rightarrow;7b-2c=25
Do sistema
b-7c=17, 7b-2c=25,
segue c=-2 e b=3. Então
a=16-2cdot3+3(-2)=16-6-6=4

Passo 4

Portanto
p(t)=4,p1(t)+3,p2(t)-2,p3(t)

Resposta

p(t)=4,p1(t)+3,p2(t)-2,p3(t).

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