Qual dos Subconjuntos do Espaço Vetorial V=R^3 Não é um Subespaço de V=R^3 ? C) S=(x, y, z) in R^3 / x+y=0 e z=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x + y = 0 e z = 0
é um subespaço de R^3. Para um subconjunto ser subespaço, devemos checar três propriedades:
  1. Se o vetor zero está em S.
  2. Se S é fechado sob soma.
  3. Se S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Substituindo em x+y=0 e z=0:
0 + 0 = 0, 0 = 0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Fechamento em relação à soma. Tomemos
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)in S.
Então x1+y1=0, z1=0 e x2+y2=0, z2=0.
A soma é
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2,;y1+y2,;0+0)
Verificamos as equações:
(x1+x2)+(y1+y2) = (x1+y1)+(x2+y2) = 0+0 = 0,
e o terceiro componente é 0. Logo a soma pertence a S.

Passo 4

Fechamento em relação a escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in S, com x+y=0 e z=0. Então
alpha,(x,y,z) = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0) = (alpha x,;alpha y,;0)
Como
alpha x + alpha y = alpha (x+y) = alphacdot 0 = 0,
o vetor resultante satisfaz as condições de S. Assim, alpha(x,y,z)in S.

Resposta

O conjunto S é um subespaço de R^3.

Exercícios relacionados