Os conjuntos abaixo não são espaços vetoriais. Identifique uma condição que falha em cada caso.
a)
, munido das seguintes operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente:
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar por que certos conjuntos não são espaços vetoriais. A gente vai focar na parte a), onde o conjunto
tem operações de soma e multiplicação por escalar definidas de um jeito diferente. O conteúdo aqui é espaços vetoriais, e vamos precisar lembrar das propriedades que esses espaços devem cumprir para entender qual delas tá faltando nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa cumprir várias propriedades, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro (zero), existência de inversos aditivos, e compatibilidade com a multiplicação por escalar, entre outras.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a operação de soma definida:
Perceba que além de somar as componentes, a gente está sempre adicionando 1 a cada componente. Isso já dá um indício de que algo pode estar errado.
Passo 4
Em um espaço vetorial, a soma precisa ter um elemento neutro, ou seja, um vetor
que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor:
Mas aí já dá o problema:
não é igual a
, a menos que
, o que não faz sentido aqui. Então,
não está funcionando como o elemento neutro.
Passo 5
Além disso, se pensarmos no elemento neutro verdadeiro, teríamos que encontrar um vetor
tal que:
Para que isso ocorra, precisaríamos que
e
, ou seja,
. Mas então,
não funciona universalmente, pois:
Portanto, não existe um elemento neutro válido para essa operação de soma.
Resposta
A operação de soma definida não possui um elemento neutro (vetor zero) válido, o que faz com que
com essas operações não seja um espaço vetorial.