Os conjuntos abaixo não são espaços vetoriais. Identifique uma condição que falha em cada caso.
a) V=R^2, munido das seguintes operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente: (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime+1, y+y^prime+1) e k(x, y)=(kx, ky).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar por que certos conjuntos não são espaços vetoriais. A gente vai focar na parte a), onde o conjunto V = R^2 tem operações de soma e multiplicação por escalar definidas de um jeito diferente. O conteúdo aqui é espaços vetoriais, e vamos precisar lembrar das propriedades que esses espaços devem cumprir para entender qual delas tá faltando nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa cumprir várias propriedades, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro (zero), existência de inversos aditivos, e compatibilidade com a multiplicação por escalar, entre outras.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a operação de soma definida:
(x, y) + (x', y') = (x + x' + 1, y + y' + 1)
Perceba que além de somar as componentes, a gente está sempre adicionando 1 a cada componente. Isso já dá um indício de que algo pode estar errado.

Passo 4

Em um espaço vetorial, a soma precisa ter um elemento neutro, ou seja, um vetor (0, 0) que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor:
(x, y) + (0, 0) = (x + 0 + 1, y + 0 + 1) = (x + 1, y + 1)
Mas aí já dá o problema: (x + 1, y + 1) não é igual a (x, y), a menos que x = y = -infty, o que não faz sentido aqui. Então, (0, 0) não está funcionando como o elemento neutro.

Passo 5

Além disso, se pensarmos no elemento neutro verdadeiro, teríamos que encontrar um vetor (a, b) tal que:
(x, y) + (a, b) = (x + a + 1, y + b + 1) = (x, y)
Para que isso ocorra, precisaríamos que a + 1 = 0 e b + 1 = 0, ou seja, a = b = -1. Mas então, (-1, -1) não funciona universalmente, pois:
(-1, -1) + (-1, -1) = (-1 -1 + 1, -1 -1 + 1) = (-1, -1) neq (x, y)
Portanto, não existe um elemento neutro válido para essa operação de soma.

Resposta

A operação de soma definida não possui um elemento neutro (vetor zero) válido, o que faz com que V = R^2 com essas operações não seja um espaço vetorial.

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